第八章空间解析几何与向量代数（参考答案）、填空题_V342.已知点M(-3,4,5），则点M到原点的距离为_5V2一，点M到y轴距离为点M到yoz平面距离为33.已知向量a与x轴，轴，z轴正向夹角依次为α，β，，且=45°，β=60°"或则=4.设a=i+3j-2k，b=2i+6j+Lk且a与b垂直，则L=_109.过点M(a,0,0)，M(0,b,0)，M(0,0,c)的平面方程为=+=+=113.与已知直线L：*1=号垂直，且过点M(2.1-5)的平面元的方程为_3x+522y-z-13=016.设平面x+ky-2z=9与平面2x+4y+3z=3垂直，则k=_117.已知球面方程为x2+y2+22-2x+2y+4z+2=0，则球心坐标为_(1,-1,-2)_半径为_218.方程x2+v2=1在平面直角坐标系中表示的曲线是圆，在空间直角坐标系中表示的曲面是母线平行于z轴的圆柱面x=0X20.在空间直角坐标系中表示z轴J=0[2y? +2 =125.已知曲线L则曲线L绕z轴旋转一周所生成的曲面方程为x=02(x2 + y2)+ z = 1二、单选题：29.设a=(-1,1.2)，b=(2,0.1)，则向量a与b的夹角为（D元元元B.3c.D.A. 026431.点M(4,-3.5)到x轴的距离d=（BA. 42 +(-3)? +52B. (-3)2 +52C. 42 +(-3)242+52D.33.设有直线三)则该在线必定（A4-30A.过原点且垂直于x轴B.过原点且平行于x轴
第八章 空间解析几何与向量代数（参考答案） 一、填空题 2．已知点 M (−3,4,5) ，则点M到原点的距离为_5√2_ ，点M到y轴距离为_√34_， 点 M 到 yoz 平面距离为_3_。 3．已知向量 a 与 x 轴，y 轴，z 轴正向夹角依次为α，β， ，且α=45°，β=60°， 则 =_ 𝜋 4 或 3𝜋 4 _。 4．设 a = i + 3 j − 2k ，b = 2i + 6 j + Lk 且 a 与 b 垂直，则 L=_10_. 9．过点 ( ,0,0) M1 a ， (0, ,0) M2 b ， (0,0, ) 3 M c 的平面方程为_ 𝑥 𝑎 + 𝑥 𝑏 + 𝑥 𝑐 = 1_。 13．与已知直线 L： 2 1 1 3 1 − = − = x + y z 垂直，且过点 M (2,1,−5) 的平面 的方程为_3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 13 = 0_。 16．设平面 x + ky − 2z = 9 与平面 2x + 4y + 3z = 3 垂直，则 k=_1_。 17．已知球面方程为 2 2 4 2 0 2 2 2 x + y + z − x + y + z + = ，则球心坐标为_(1,-1,-2)_,半 径为_2_. 18．方程 1 2 2 x + y = 在平面直角坐标系中表示的曲线是_圆_，在空间直角坐标系中表 示的曲面是_母线平行于 z 轴的圆柱面_。 20． = = 0 0 y x 在空间直角坐标系中表示_z 轴_。 25．已知曲线 L： = + = 0 2 1 2 x y z ，则曲线 L 绕 z 轴旋转一周所生成的曲面方程为 _2(𝑥 2 + 𝑦 2)+ 𝑧 = 1_。 二、单选题： 29．设 a = (−1,1.2)，b = (2,0.1) ，则向量 a 与 b 的夹角为（ D ） A．0 B． 6 C． 4 D． 2 31．点 M (4,−3.5) 到 x 轴的距离 d =（ B ） A． 2 2 2 4 + (−3) + 5 B． 2 2 (−3) + 5 C． 2 2 4 + (−3) D． 2 2 4 + 5 33．设有直线 0 4 − 3 = = x y z ，则该在线必定（ A ） A．过原点且垂直于 x 轴 B．过原点且平行于 x 轴
C.不过原点但垂直于x轴D.不过原点且不平行于x轴34.在空间直角坐标系中，方程x2-4(y-I)2=0表示（A）A.两个平面B.双曲柱面C.椭圆柱面D.圆柱面36.直线与平面3x-→+2=4的关系是（C）3-12A.平行C.垂直D.直线在平面上B.既不平行也不垂直45.平面Ax+By+C=+D=0过x轴，则（A）A. A=D=0B.1B=0且C±0C.B±0且C=0D. B=C=0[x-y=648.直线_-5_ z+5与直线)的交角为（C-21/[2y+z=3TA.元元c.B.D.632三、解答与计算：1.设两点A(1,2,3)，B(0,-1,1)，求：（1)向量AB；（2）AB：（3）：（4）与ABA同方向的单位向量AB：（5）AB在各坐标轴上投影：（6）AB的方向余弦。解：（1）AB=(-1,-3,-2);(2) [AB|=V14;(3) 0A|=V14 ;(4) ABO =(-1,3,-2);(5)在x轴上:-1,在y轴上:-3,在z轴上:-2;(6)(cosα,cosβ,cosy) =(-1,-3,-2)V143.求垂直于向量a=(2,2,)与向量b=(4,5,3)的单位向量解设a,b,=×=(1,-2,2),=(1,-2,2)4.求以A(12,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)为顶点的△ABC的面积。解：SAABC=IAC×AB|=V148.已知点A(1,-1,2)，B(-2,0,3)及M(2,1,-1)三点，求过点M且与AB连线垂直的平面方程。解：π=（-3,1,1),平面方程：-3(x-2)+(y-1)+(z+1)=0，即3x-y-z=610.已知平面元：x+2y-z+3=0，求过点（1，2，3）且与平面元垂直的直线方程。解：直线：二-2-2-3-112x+y-2z-1=012.求过点M。(-1,2,1)且平行于直线L的直线方程，其中L：[x+2y-2+1=0°
C．不过原点但垂直于 x 轴 D．不过原点且不平行于 x 轴 34．在空间直角坐标系中，方程 4( 1) 0 2 2 x − y − = 表示（ A ） A．两个平面 B．双曲柱面 C．椭圆柱面 D．圆柱面 36．直线 2 4 1 3 3 2 − = − + = x − y z 与平面 3x − y + 2z = 4 的关系是（ C ） A．平行 B．既不平行也不垂直 C．垂直 D．直线在平面上 45．平面 Ax + By + Cz + D = 0 过 x 轴，则（ A ） A． A = D = 0 B． B = 0 且 C 0 C． B 0 且 C = 0 D． B = C = 0 48．直线 1 5 2 5 1 1 + = − − = x − y z 与直线 + = − = 2 3 6 y z x y 的交角为（ C ） A． 6 B． 4 C． 3 D． 2 三、解答与计算： 1．设两点 A(1,2,3)，B(0, 1,1 − ) ，求：（1）向量 AB ；（2） AB ；（3） OA ；（4）与 AB 同方向的单位向量 AB ；（5） AB 在各坐标轴上投影；（6） AB 的方向余弦。 解 ：（ 1 ） 𝐴𝐵⃗⃗⃗ = (−1, −3, −2) ; (2) |𝐴𝐵⃗⃗⃗ | = √14 ; (3) |𝑂𝐴⃗⃗⃗ | = √14 ; (4) 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ⃗0 = 1 √14 (−1, −3, −2); (5)在 x 轴上:-1, 在 y 轴上:-3, 在 z 轴上:-2; (6) (𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾) = 1 √14 (−1, −3, −2) 3．求垂直于向量 a = (2,2,1) 与向量 b = (4,5,3) 的单位向量。 解：设𝑐 ⊥ 𝑎 , 𝑐 ⊥ 𝑏⃗ , ∴ 𝑐 = 𝑎 × 𝑏⃗ =(1,-2,2), 𝑐⃗ 0 = 1 3 (1,−2,2) . 4．求以 A(1,2,3)、 B(3,4,5) 和 C(2,4,7) 为顶点的△ABC 的面积。 解：𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 1 2 |𝐴𝐶⃗⃗ × 𝐴𝐵⃗⃗⃗ | = √14 8．已知点 A(1,−1,2) ， B(−2,0,3) 及 M (2,1,−1) 三点，求过点 M 且与 AB 连线垂直的平 面方程。 解：𝑛⃗ = (−3,1,1), 平面方程：−3(𝑥 − 2) + (𝑦 − 1) + (𝑧 + 1) = 0，即3𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 6 10．已知平面 ：x + 2y − z + 3 = 0 ，求过点（1，2，3）且与平面π垂直的直线方程。 解：直线：𝑥−1 1 = 𝑦−2 2 = 𝑧−3 −1 12．求过点 ( 1,2,1) M0 − 且平行于直线 L 的直线方程，其中 L： + − + = + − − = 2 1 0 2 1 0 x y z x y z
2kx+1 = y-2 = 2-1=(3,-1,1)，所求直线：解：3=11-2-/12-113.判定各组平面之间的关系：垂直(2)元,:x-y+2z=l;元,:3x+y-z=214.判定各组直线之间的关系：x-1_y+1_ z-2x+12-2-1_y+2平行(1) Li:L2:12-22-1-415.判定各组平面与直线之间的位置关系：x-2_y+22-3和元：4x-2y-2z=3(1)L:平行-2-73(3)L:和元：3x-2y+7z=8垂直3-2718.求过两点A(-2,1,3)和B(-1,-2,-3)直线的标准式方程和参数式方程。X±1±2=23，参数式解：标准式：-3-6Ax+3-y+2_z-119.求直线与平面x+2y+2z=6的交点。解(30,-24,12)3-2127.求由曲面z=2(x2+y)与曲面z=1-/x+y所围立体在xoy面上的投影。解：投影为：x2+y2≤=，z=0
解：𝑠 = | 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 1 1 −2 1 2 −1 |=(3,-1,1), 所求直线：𝑥+1 3 = 𝑦−2 −1 = 𝑧−1 1 13．判定各组平面之间的关系： （2） 1： x − y + 2z = 1 ； 2 ：3x + y − z = 2 垂直 14．判定各组直线之间的关系： （1）L1： 2 2 1 1 1 1 − = − + = x − y z L2： 4 1 2 2 2 1 − − = + = − x + y z 平行 15．判定各组平面与直线之间的位置关系： （1）L： 3 3 7 2 2 2 − = − + = − x − y z 和π： 4x − 2y − 2z = 3 平行 （3）L： 3 2 7 x y z = − = 和π： 3x − 2y + 7z = 8 垂直 18．求过两点 A(−2,1,3) 和 B(−1,−2,−3) 直线的标准式方程和参数式方程。 解：标准式：𝑥+1 1 = 𝑦+2 −3 = 𝑧+3 −6 ，参数式： 19．求直线 1 1 2 2 3 3 − = − + = x + y z 与平面 x + 2y + 2z = 6 的交点。解 (30,-24,12) 27．求由曲面 2( ) 2 2 z = x + y 与曲面 2 2 z = 1− x + y 所围立体在 xoy 面上的投影。 解：投影为：𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1 4 ，𝑧 = 0