函数展开成幂级数二、1.直接展开法函数f(x）展开成幂级数的步骤(Maclaurin级数)第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值：第二步写出Maclaurin级数，并求出其收敛半径R：考察在收敛区间(-R,R)内 lim R,(x)是否为0。第三步n→8HIGHEDUCATION PRESS
二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出Maclaurin级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 考察在收敛区间(－R, R) 内 lim R (x) n n→ 是否为0。 函数 展开成幂级数的步骤(Maclaurin级数)
展开成x的幂级数例1. 将函数f(x)=ex解: : f(n)(x)=ex,f(n)(O)=1 (n=0,1,.),故得级数+x+312!nR=+8:lim其收敛半径为1(n+5n00对任何有限数x，其余项满足(n+1xn8+n+1Rn(x)|=(n +l)!(n+l)!(在0与x 之间)故 ex=1+x+xE(-8,+8.25HIGH EDUCATION PRESS
例1. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) , (n) x f x = e (0) 1 ( 0,1, ), f (n) = n = 1 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 e (n +1)! n+1 x x e 故 , ! 1 3! 1 2! 1 1 x = + + 2 + 3 ++ x n + n e x x x → = n R lim ! 1 n ( 1)! 1 n + n → ( 在0与x 之间) + x 2 2! 1 + x 3 3! 1 + x ++ x n + n! 1 故得级数