第九章多元函数微分法（参考答案）、填空题x+arcsin 兰的定义域为 (a>0, b>0)_D=(x,y)-a≤x≤a, b≤y≤b)1.函数z=arcsin二bax2-xy2. 若f(x+y,x-y)=xy+y2,则f(x,Jy)=sinxy.4. lim 139x10.设二元函数z=n(x+y），则dzx==ddy11.由方程ln(x +y2)=2arctan二确定的隐函数y=f(x)的导数x+ydxx(x=tx-1y-12-1y=t2在点（1，1，1）处的切线方程为15.曲线，法平面方程为_x+2y+3z-6=0_。22(==1316.函数在点处沿轴正向的方向导数为8x?+ y2与平面y=4的交线在x=2处的切线与x轴正向所成角为18.曲面X20.M（1，-1，2）为曲面z=f(x,J)上的一点，f(1,-1)=2，J(1,-1)=-2，则曲面在点M处的切平面方程为 2x-2y-z-2=0二、单选题xyx+y2±01. 设f(x,)=+y在点（0，0）处（C[o; x?+y?=0A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在D.不连续，偏导数不存在[x2 +y2 +22 =65.空间曲线在点M（1，一2，1）处的切线一定平行于（C、D）x+y+z=0A.xoy面B.yoz面C. xoz面D.平面 x+y+z=0Oz6.设函数z=3#，等于（D)axC. xy3-3-A.J3B.3ln3D.y3n312.函数f(x,y)在点(xo,yo）偏导数存在是f(x,y)在该点连续的（DJA.充分但不是必要条件B.必要但不是充分条件C.充分必要条件D.既不充分也非必要条件
第九章 多元函数微分法（参考答案） 一、填空题 1．函数 b y a x z = arcsin + arcsin 的定义域为（a＞0，b＞0）_D = {(𝑥, 𝑦)|−𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎, −𝑏 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏}_。 2．若 2 f (x + y, x − y) = xy + y ，则 f (x, y) = _ 𝑥 2−𝑥𝑦 2 _。 4． = → → x xy y x sin lim 2 0 _2_。 10．设二元函数 ln( ) 2 z = x + y ，则 = = = 0 1 y dz x _𝑑𝑥_。 11．由方程 x y ln( x y ) 2arctan 2 2 + = 确定的隐函数 y = f (x) 的导数 = dx dy _ 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 _。 15．曲线 = = = 3 2 z t y t x t 在点（1，1，1）处的切线方程为_ 𝑥−1 1 = 𝑦−1 2 = 𝑧−1 3 _，法平面方程为_𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 6 = 0_。 16．函数 在点 处沿 轴正向的方向导数为 8 ． 18．曲面 4 2 2 x y z + = 与平面 y = 4 的交线在 x = 2 处的切线与 x 轴正向所成角为_ 𝜋 4 _。 20． M（1，-1，2）为曲面 z = f (x, y) 上的一点， (1, 1) 2 x f − = ， (1, 1) 2 y f − = − ，则曲面在点 M 处的切平面方程 为 2x-2y-z-2=0 ． 二、单选题 1．设 + = + = + 0 ; 0 ; 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 在点（0，0）处（ C ） A．连续，偏导数存在 B．连续，偏导数不存在 C．不连续，偏导数存在 D．不连续，偏导数不存在 5．空间曲线 + + = + + = 0 6 2 2 2 x y z x y z 在点 M（1，—2，1）处的切线一定平行于（ C、 D ） A．xoy 面 B．yoz 面 C．xoz 面 D．平面 x+y+z=0 6．设函数 xy z = 3 ，则 x z 等于（ D ） A． xy y3 B．3 ln 3 xy C． 1 3 xy− xy D． 3 ln 3 xy y 12．函数 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 偏导数存在是 f (x, y) 在该点连续的（ D ） A．充分但不是必要条件 B．必要但不是充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也非必要条件
14. 设≥=(x,)，则=(BDax(x0.y0)f(xo + Ax, yo +Ay)- f(xo, yo)f(xo +Ax, yo)- f(xo, yo)limlimBA.ArfArAxArf(xo + Ar, yo)f(xo +Ax,y)-f(xo,yo)limD.limC.ArAr-→>0Arx=asin2t元处的法平面（16.空间曲线y=bsintcost在t=B)4z=Ccos?tA.平行于z轴B.平行于y轴C.平行于xoy面D.垂直于yoz面三、计算与解答题1.求二元函数极限：Vxy+4-2lim(1)1/4(x,)→(0,0)xy1- cos(x? + y)lim(2)(-(0.0) (x2 +y2)erIn(1+ x2 + y2(3)lim(x,J)→(0,0)Jx+y2OzdzazOz求解：y2 sec2(xy2),2．设二元函数z=tan(xy），=2xysec2(xy2)x'dyaxay来ouOuau3. 设u= arctan 二,ydu。解：dudx-dyx2+y2x2+y2axaxx2+y2x2+y2ayayJ0-%azOz6. 设函数≥=(x,J)由方程≥-In三。求2解：=0所确定，V=(axaxayayZydzdz(t-2)et求=Cos (兰- 2)cos解：y=127.已知z=sin,x=e',dty22dty(yy来口az8. 设z=f(u,v)而u=xy，V=，其中f(u,v)可微，ax'ayx解：=2xf-：%=xf+aa11求下列函数的二阶偏导数：(1) z = ylnx(2) z = In(x2 +xy+y2)a2zaz2x+y-2x2-2xy+y2az1a2zylnxIny;ylnx (Iny -ax2=Iny0x=x0x=x2+xy+y2ax2(x2 + xy +y2)2aza2zaza2zx2 -2xy -2y2x+2y= ylnx-11nx;= Inx(lnx - 1)ylnx-2 ;ay2ayay2ayx2 + xy +y2(x2 + xy + y2)2
14．设 z = f (x, y) ，则 ( , ) 0 0 x y x z =（ B ） A． x f x x y y f x y x + + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 B． x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 C． x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 D． x f x x y x + → ( , ) lim 0 0 0 16．空间曲线 = = = z c t y b t t x a t 2 2 cos sin cos sin 在 4 t = 处的法平面（ B ） A．平行于 z 轴 B．平行于 y 轴 C．平行于 xoy 面 D．垂直于 yoz 面 三、计算与解答题 1．求二元函数极限： （1） ( , ) (0,0) 4 2 lim x y xy → xy + − =1/4 （2） 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 2 2 1 cos( ) lim ( ) x y x y x y x y e → − + + =0 （3） ( ) 2 2 ( , ) (0,0) 2 2 ln 1 lim x y x y x y → + + + =1 2．设二元函数 tan( ) 2 z = xy ，求 x z ， y z 。 解： x z =𝑦 2 𝑠𝑒𝑐2(𝑥𝑦 2)， y z = 2𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑐2(𝑥𝑦 2) 3．设 y x u = arctan ，求 x u ， y u ， du 。 解： x u = 𝑦 𝑥 2+𝑦2， y u =− 𝑥 𝑥 2+𝑦2， du = 𝑦 𝑥 2+𝑦2 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑥 2+𝑦2 𝑑𝑦 6．设函数 z = f (x, y) 由方程 − ln = 0 y z z x 所确定，求 y z y x z z − 解： y z y x z z − =0 7．已知 y x z = sin ， t x = e ， 2 y = t ，求 dt dz 。 解： dt dz =cos 𝑥 𝑦 ( 𝑒 𝑡 𝑦 − 2𝑡𝑥 𝑦2 ) = (𝑡−2)𝑒 𝑡 𝑡 3 𝑐𝑜𝑠 𝑒 𝑡 𝑡 2 8．设 z = f (u,v) 而 u x y 2 = ， x y v = ，其中 f (u,v) 可微，求 x z ， y z 解：𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 2𝑥𝑦𝑓1 ′ − 𝑦 𝑥 2 𝑓2 ′ ; 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝑥 2𝑓1 ′ + 1 𝑥 𝑓2 ′ 11．求下列函数的二阶偏导数： （1） x z y ln = （2） ln( ) 2 2 z = x + xy + y 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 1 𝑥 𝑦 ln𝑥 ln𝑦; 𝜕 2𝑧 𝜕𝑥 2 = ln𝑦 [ 1 𝑥 2 𝑦 ln𝑥(ln𝑦 − 1)]; 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 2𝑥 + 𝑦 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ; 𝜕 2𝑧 𝜕𝑥 2 = −2𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 (𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2) 2 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝑦 ln𝑥−1 ln𝑥; 𝜕 2𝑧 𝜕𝑦 2 = ln𝑥(ln𝑥 − 1)𝑦 ln𝑥−2 ; 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝑥 + 2𝑦 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ; 𝜕 2𝑧 𝜕𝑦 2 = 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 2𝑦 2 (𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2) 2
z1a2zx2-4xy-y2 ,Inx-1(Inxlny + 1),axoyayoxxx0y=(x2 + xy + y2)212.求下列函数的极值与极值点：(1)f(x,y)=x3 +y3 -9xy+27{fx =3x2 -9y = 0解：得(0,0)(3,3); fxx = 6x, fxy = -9, fy = 6y;Ufy=3y2-9x=0在(0,0)，A=0,B=-9,C=0,AC-B2<0,:无极值。在(1,3)，A=18,B=-9,C=18,AC-B2>0,并且A>0:有极小值f(3,3)=0。0013.设函数≥=(x,J)由方程F(x+三,二,y+三)=0确定，求ax'dy山xF-F2azFxzz解：u=x+-v=y+"ax=+-RFy-RS+RFyazdy-R-RFz四、应用题1.欲做一个无盖长方体容器，已知底部造价为每平方米3元，侧面造价为每平方米1元，现想用36元造一个容积最大的容器，求其尺寸。解：设长宽高分别为：x,y,z,求容积v=xyz最大，条件：3xy+2xz+2yz=36设L=xyz+(3xy+2xz+2yz-36)Lx=yz+>(3y+2z)=0(x = 2Ly=xz+2(3x+22)=0解解得y=2唯一的极值点就是所求，即长宽高分别为2.2.3Lz=xy+^(2x+2y)=0(z = 3L=3xy+2xz+2yz-36=02.利用多元函数求极值的方法，求点P(0-1,1)到直线[+2=的距离lx+2z=7解：设直线上的一点为(x,y,z),求距离d2=x2+(y+1)2+(z-1)2最大，条件y+2=0，x+2z=7设L=x2+(y+1)2+(z-1)2+,(y+2)+^2(x+2z-7)Lx=2x+>2=0Ly=2y+2+1=0(x=1解人Lz=22-2+22=0解得）y=-2:d=V6L^1=y+2=0( z=3(L2=x+2Z-7=04.求函数z=x2+y2-3在条件x-y+1=0下极值。（提示：利用拉格日乘数法求出可能极值点再用二元函数极值的充分条件加以判断也可化为无条件极值求解。）解：设=x2+2-3+(x-y+1)(Lx=2x+^=0fx=-1解Ly = 2y -^= 0 得A= Zxx = 2,B = zxy = 0,C= zv=2(y=).(l, =x-y+1= 05：AC-B2>0,并且A>0：有极小值2
𝜕 2𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝜕 2𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑥 = 1 𝑥 𝑦 ln𝑥−1(ln𝑥ln𝑦 + 1). 𝜕 2𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = −𝑥 2 − 4𝑥𝑦 − 𝑦 2 (𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2) 2 . 12．求下列函数的极值与极值点： （1） ( , ) 9 27 3 3 f x y = x + y − xy + 解：{ 𝑓𝑥 = 3𝑥 2 − 9𝑦 = 0 𝑓𝑦 = 3𝑦 2 − 9𝑥 = 0 得(0,0)(3,3); 𝑓𝑥𝑥 = 6𝑥, 𝑓𝑥𝑦 = −9, 𝑓𝑦𝑦 = 6y; 在(0,0)，𝐴 = 0,𝐵 = −9, 𝐶 = 0,𝐴𝐶 − 𝐵 2 < 0, ∴ 无极值。 在(1,3)，𝐴 = 18,𝐵 = −9, 𝐶 = 18,𝐴𝐶 − 𝐵 2 > 0,并且 A > 0 ∴ 有极小值𝑓(3,3) = 0。 13．设函数 z = z(x, y) 由方程 ( + , + ) = 0 x z y y z F x 确定，求 x z ， y z 解：𝑢 = 𝑥 + 𝑧 𝑦 , 𝑣 = 𝑦 + 𝑧 𝑥 , ∴ ∂z 𝜕𝑥 = − 𝐹𝑥 𝐹𝑧 = − 𝐹1 ′ − 𝐹2 ′ 𝑧 𝑥 2 𝐹1 ′ 1 𝑦 − 𝐹2 ′ 1 𝑥 = ∂z 𝜕𝑦 = − 𝐹𝑦 𝐹𝑧 = − −𝐹1 ′ 𝑧 𝑦 2 + 𝐹2 ′ 𝐹1 ′ 1 𝑦 − 𝐹2 ′ 1 𝑥 = 四、应用题 1．欲做一个无盖长方体容器，已知底部造价为每平方米 3 元，侧面造价为每平方米 1 元，现想用 36 元造一个 容积最大的容器，求其尺寸。 解：设长宽高分别为：𝑥, 𝑦, 𝑧,求容积𝑣 = 𝑥𝑦𝑧最大，条件：3𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 = 36 设L = 𝑥𝑦𝑧 + 𝜆(3𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 − 36) 解{ 𝐿𝑥=𝑦𝑧+𝜆(3𝑦+2𝑧)=0 𝐿𝑦=𝑥𝑧+𝜆(3𝑥+2𝑧)=0 𝐿𝑧=𝑥𝑦+𝜆(2𝑥+2𝑦)=0 𝐿𝑦=3𝑥𝑦+2𝑥𝑧+2𝑦𝑧−36=0 解得{ 𝑥 = 2 𝑦 = 2 𝑧 = 3 唯一的极值点就是所求，即长宽高分别为 2,2,3. 2．利用多元函数求极值的方法，求点 P(0,−1,1) 到直线{ 𝑦 + 2 = 0 𝑥 + 2𝑧 = 7 的距离． 解：设直线上的一点为(𝑥, 𝑦, 𝑧),求距离 𝑑 2 = 𝑥 2 + (𝑦 + 1) 2 + (𝑧 − 1) 2最大，条件𝑦 + 2 = 0，𝑥 + 2𝑧 = 7 设L = 𝑥 2 + (𝑦 + 1) 2 + (𝑧 − 1) 2 + 𝜆1 (𝑦 + 2) + 𝜆2 (𝑥 + 2𝑧 − 7) 解{ 𝐿𝑥=2𝑥+𝜆2=0 𝐿𝑦=2𝑦+2+𝜆1=0 𝐿𝑧=2𝑧−2+2𝜆2=0 𝐿𝜆1 =𝑦+2=0 𝐿𝜆2 =𝑥+2𝑧−7=0 解得{ 𝑥 = 1 𝑦 = −2 𝑧 = 3 ， ∴ 𝑑 = √6 4．求函数 3 2 2 z = x + y − 在条件 x − y +1 = 0 下极值。（提示：利用拉格日乘数法求出可能极值点再用二元函 数极值的充分条件加以判断也可化为无条件极值求解。） 解：设L = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 3 + 𝜆(𝑥 − 𝑦 + 1) 解{ 𝐿𝑥 = 2𝑥 + 𝜆 = 0 𝐿𝑦 = 2𝑦 − 𝜆 = 0 𝐿𝜆 = 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 得 { 𝑥 = − 1 2 𝑦 = 1 2 . 𝐴 = 𝑧𝑥𝑥 = 2,𝐵 = 𝑧𝑥𝑦 = 0, C = 𝑧 𝑦𝑦 = 2; ∵ 𝐴𝐶 − 𝐵 2 > 0,并且 A > 0 ∴ 有极小值 − 5 2