第十二章第七节傅里叶级数三角级数及三角函数系的正交性一二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数HIGHEDUCATION PRESS
第七节 一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 第十二章 傅里叶级数
三角级数及三角函数系的正交性一、(谐波函数）简单的周期运动:y=Asin(のt+@(A为振幅,，①为角频率,β为初相E An sin(no t + Pn复杂的周期运动：y=Ao+n=l(谐波迭加)An sinPn cosnot+ An cosn sinn@tao今= A02, an = An sinPn, bn = An cosPn, のt=x8ao得函数项级数(an cosnx+bn sinnxk=l称上述形式的级数为三角级数HIGH EDUCATION PRESS
一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : A n t A n t n sinn cos + n cosn sin 令 sin , an = An n cos , bn = An n 得函数项级数 ( cos sin ) 2 1 0 a nx b nx a n n k + + = 为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数
定理1组成三角级数的函数系1, cos x, sinx, cos 2x, sin2x, ..., cosnx, sinnx,..在[-元，元]上正交，即其中任意两个不同的函数之积在一元，元上的积分等于0元(n=1,2,...)1.cosnxdx ={" 1 sinnxdx = 0证：一元元cos kx cos nx dx元[cos(k +n)x+cos(k -n)x]coskxcos nx =2" [cos(k +n)x+ cos(k -n)x Jdx= 0 (k ±n)元sinkxsinnxdx=O(k±n)同理可证：一元元coskx sinnxdx = 0一元HIGHEDUCATIONPRESS
cos(k n)x cos(k n)x d x 2 1 = + + − − 定理 1 组成三角级数的函数系 证: − 1 cos nxd x = − 1 sin nxd x = 0 cos kx cos nxdx − = 0 sin sin d = 0 − kx nx x 同理可证 : 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 cos sin d = 0 − kx nx x (k n )
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在「一元，元上的积分不等于0．且有元1.1dx = 2元元元cosnxdx=元元(n =1, 2, ...)元nxdx =元sin'元1 + cos2nx1 - cos2nxDsinCOSnx=nx=22HIGH EDUCATION PRESS
上的积分不等于 0 . 11d = 2 − x sin nxdx 2 − cos n xdx 2 − , 2 1 cos 2 cos2 nx nx + = 2 1 cos 2 sin2 nx nx − = 且有 = = 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
函数展开成傅里叶级数二、定理2设f(x)是周期为2元的周期函数，且8f(x)=+)1√cosnx + bn sinnx)ann=l右端级数可逐项积分，则有(n = 0,1, ..)-f(x)cos nxdxan =["bn =1f(x)sinnxdx(n=1,2,.)-2证：由定理条件，对①在一元,元]逐项积分，得元元元元8adx+Z[ f(x)dx =cosnx dx +bnIsinnxdxa12n=一元元一元一元=ao元HIGH EDUCATION PRESS
二、函数展开成傅里叶级数 定理 2 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n = + + = 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件, + = + − − =1 − − 0 d cos d sin d 2 ( ) n n n x a nx x b nx x a f x dx ① ② 对①在 逐项积分, 得