第十二章第二节常数项级数的审敛法正项级数及其审敛法一i二、3交错级数及其审敛法三、 纟绝对收敛与条件收敛HIGH EDUCATION PRESS
二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 第十二章
正项级数及其审敛法8Z若un≥0,则称un为正项级数n=l部分和：s,=u,+u,+...+u部分和数列的单调性：(Ss，单调增加考虑数列收敛的“单调有界准则”，若{s有界，思考正项级数2收敛性如何？u福n=lHIGH EDUCATION PRESS
一、正项级数及其审敛法 部分和： 部分和数列的单调性： 单调增加 考虑数列收敛的“单调有界准则”，若 有界， 正项级数 收敛性如何？
8Z收敛(s有界定理1正项级数un!In=18Zun收敛，则,Sn收敛，故有界证：若n=1JSn单调递增：un≥0，.部分和数列8Z也收敛s，有界，故Sn收敛，从而un又已知n=1注：要证某正项级数收敛，只需证其部分和数列有界而不需证部分和数列收敛，此方法简化了证明过程HIGHEDUCATION PRESS
定理 1 正项级数 收敛 有界 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界，故 从而 故有界. 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 注: 要证某正项级数收敛，只需证其部分和数列有界， 而不需证部分和数列收敛，此方法简化了证明过程
88ZEyn定理2（比较审敛法设正项级数Un'n=ln=1满足(n =1,2,.…….）则有un≤yT8>Zyn收敛，则级数也收敛(1)若级数unn=1n=l88L发散，！(2)若级数则级数也发散VunYn=ln=1HIGH EDUCATION PRESS
定理2 (比较审敛法) 设正项级数 满足 ，则有 (1) 若级数 则级数 (2) 若级数 则级数 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散
88证：Zu设正项级数的部分和分别为s.和αVnn=1n=1因为u,≤vn，则s,≤on(n=l,2,..)80Z(I)如果级数v,收敛，由定理1可知,有界，即存在n=l正数M，α,≤M,从而s≤M，即s有界，则正项级数8Z收敛。unn=181(2)如果级数u,发散，由定理1可知(s无界，从而n=l0Zv,发散。α,无界，所以级数HIGH EDUCATION PRESS
证: