第十二章第五节函数幕级数展开式的应用近似计算一二、欧拉公式HIGH EDUCATION PRESS
第五节 一、近似计算 二、欧拉公式 函数幂级数展开式的应用 第十二章
一、近似计算精确到10-4例1.计算5/240的近似值，解: 5/240=5/243-3 =3(1-±)1.4.91.4111二2452 .2! 3853.3! 3121.4.9.141.4.931231654.4!1.43[++(G) <0.5×10-452.2!5/240 ~3(1 -～3-0.00741~2.99265HIGH EDUCATION PRESS
一、近似计算 + x = + mx + m (1 ) 1 + − 2 2! ( 1) x m m + − − + + n x n m m m n ! ( 1) ( 1) (−1 x 1) 例1. 计算 5 240 10 . −4 r2 = 3 2 8 3 1 5 2! 1 4 3 12 3 1 5 3! 1 4 9 + + + 4 16 3 1 5 4! 1 4 9 14 81 8 1 1 1 3 1 25 6 − = ) 3 1 5 1 240 3(1 4 5 − 3− 0.00741 2.9926 的近似值, 精确到 + + + 2 2 8 81 1 81 1 1 3 1 5 2! 1 4 3 4 0.5 10− 3 1 = 4 3 1 5 1 − 2 8 3 1 5 2! 1 4 − − − 3 12 3 1 5 3! 1 4 9 解: 5 5 240 = 243−3 5 1 4 3(1 ) 3 1 = −
直,使准确到10-4例2. 计算 ln2 的近似值解：已知ln(1+x) = x(-1<x≤1)ln(1-x)= -x(-1≤x<1)N21+ x故= In(1 + x)- ln(1 - x)In1-x(-1<x<1)1+x=2得x=今于是有3L-xln2= 2HIGH EDUCATION PRESS
( 1 1) 2 3 4 ln(1 ) 2 3 4 − = − − − − − − x x x x x x 例2. 计算 ln 2 的近似值 ,使准确到 10 . −4 解: 已知 故 ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln x x x x = + − − − + = ( + + + ) 3 5 5 1 3 1 2 x x x 令 2 1 1 = − + x x 得 = + 3 + 5 + 7 + 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2 , 3 1 x = 于是有
在上述展开式中取前四项11(1++()2<0.2 ×10-478732In2~+:37~ 0.6931*535+HIGH EDUCATION PRESS
4 9 3 1 9 1 2 r = 11 + + ) 2 + 9 1 ( 9 1 1 3 2 9 11 1 1 1 3 2 − = + + + 3 5 7 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2 0.6931 11 3 1 11 1 + + 13 + 3 1 13 1 9 4 3 1 = 4 0.2 10 78732 1 − = 在上述展开式中取前四项
T求sin9°的近似值，并估计例3.利用sinx ~ x-3!误差元元(弧度)解：先把角度化为弧度XC9920180元()+(2)-(20sin2020<=×10-50.2120元元sin~0.157080-0.00064620~20-3(20)～ 0.1564310-5误差不超过HIGH EDUCATION PRESS
= − 3 + 5 − ) 7 + 20 ( 7! 1 ) 20 ( 5! 1 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin 例3. 利用 求 误差. 解: 先把角度化为弧度 9 = (弧度) 5 2 ) 20 ( 5! 1 r 5 (0.2) 120 1 5 10 3 1 − 3! sin 3 x x = x − 5! 5 x + 7! 7 x − + 0.157080 − 0.000646 3 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin − 误差不超过 5 10− 的近似值 , 并估计 0.15643