银川能源学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 多维随机变量

概率论与数理统计 二维正态分布 若(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= oun 1 -2p-A0-4+y-4'B 0102 其中-0<h1<+0,-0<42<+0,01>0,O2>0,-1<p<1. 则称(X,Y)服从二维正态分布， 记为(X,Y)~N(41,2,O1,O2,P) 上一页 下一页 返回

上一页 下一页 返回 若(X.,Y)的概率密度为 ]} ( )( ) ( ) 2 ( ) [ 2 1 1 exp{ 2 1 1 ( , ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2                         x y y x f x y 二维正态分布 ( , ) ~ ( , , , , ). ( , ) , , 0, 0, 1 1. 1 2 1 2 1 2 1 2           X Y N X Y 记为 则称 服从二维正态分布， 其中             

概率论与数理统计 例3.3设(X,Y)在圆域x2+y2≤4上服从均匀分布，求 (1) (X,Y)的概率密度； (2)P{0<X<1,0<Y<1}. 解(1)圆域x2+y2≤4的面积A=4元，故(X,Y)的概 率密度为 1 x2+y2≤4， 其他. 上一页 下一页 返回

上一页 下一页 返回 1 2 2 , 4, ( , ) 4π 0, . x y f x y         其他 例3.3 设（X，Y）在圆域x 2+y 2≤4上服从均匀分布，求 （1） （X，Y）的概率密度； （2） P{0＜X＜1，0＜Y＜1}. 解 （1） 圆域x 2+y 2≤4的面积A=4π，故（X，Y）的概 率密度为

概率论与数理统计 (2) G为不等式0<x<1,0<y<1所确定的区域， 所以 P(0<X<1,0<Y<1=f(x.yXixdy 上一页 下一页 返回

上一页 下一页 返回   1 1 0 0 0 1,0 1 ( , )d d 1 1 d d . 4 4 G P X Y f x y x y x y π π           （2） G为不等式0＜x＜1，0＜y＜1所确定的区域， 所以

概率论与数理统计 例3.4设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ke(2x+3),x>0,y>0, f(x,y)= 0. 其他 (1)确定常数k; (2)求(X,Y)的分布函数； (3)求P{X<, 解（1)由性质有 (xy)dxdykexdxdy 十文 =。aiew-个e[ e k 上一页 下一页 返回

上一页 下一页 返回 (2 3 ) e , 0, 0, ( , ) 0, . x y k x y f x y         其他 例3.4 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 (1) 确定常数k；（2）求（X，Y）的分布函数； （3）求P{X<Y}. 解 （1）由性质有 (2 3 ) 0 0 ( , )d d e d d x y f x y x y k x y              2 3 2 3 0 0 0 0 1 1 1 e d e d e e 1. 2 3 6 x y x y k x y k k                             

概率论与数理统计 (2)由定义有 F(x,y)=[f(u,v)dudv _6e2sddv=0-e321-e3by>0,x>0 0, 其他， ③P{X<Y}=Jnf(x,)dxdv=Jj∬f(x,y)drdy x<y =[6eew]d-eru-evy= 5 上一页 下一页 返回

上一页 下一页 返回 ( , ) ( , )d d y x F x y f u v u v      (2) 由定义有 (2 3 ) 2 3 0 0 6e d d (1 e )(1 e ), 0, 0. 0, . y x u v x y u v y x                 其他   ( , )d d ( , )d d D x y P X Y f x y x y f x y x y       (3) (2 3 ) 3 2 0 0 0 2 6e d d 3e (1 e )d . 5 y x y y y x y y                 