第3节 第十章 幂级数 一、 函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第3节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 第十章
一、 函数项级数的概念 设4n(x)(n=1,2,…)是定义在区间I上的函数列 ∑4，(w)=4()+4,(x)+4,()++4,(x)+ n= 为定义在区间I上的（函数项）级数 对x0∈1，若常数项级数∑4n(x)收敛，称x为其收 n=l 敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域， 若常数项级数∑4n(xo)发散，称xo为其发散点，所有 n=l 发散点的全体称为其发散域 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的(函数项)级数. 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 是定义在区间 I 上的函数列, 收敛, 发散 , 所有 0 称 x 为其收 0 称x 为其发散点, u (x) (n 1,2, ) n 发散点的全体称为其发散域
在收敛域上，函数项级数的和是x的函数S(x),称它 为级数的和函数，并写成 S(x)=∑4n(x) n=1 若用Sn(x)表示函数项级数前n项部分和，即 S,(x)=∑4，(x) 令余项rn(x)=S(x)-Sn(x) 则在收敛域上有 lim S (x)=S(x), lim r (x)=0 n-→00 n-→o0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项部分和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它
例10.3.1考察级数 ∑x”=1+x+x2+…+x”+ n=0 的收敛域和发散域 解它的收敛域是(-1,1)，当x∈(-1,1)时，有和函数 ∑x”= n=0 -x 它的发散域是(-0，-1]及[1，+∞)，或写作x≥1. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例10.3.1 考察级数 解 它的收敛域是 它的发散域是 ( , 1]及[1， ）, 或写作 x 1. 有和函数 的收敛域和发散域．
二、幂级数及其收敛性 形如 ∑an(x-x)”=a+a4(x-x0)+a(x-xo)2+ n=0 …+an(x-xo)”+… 的函数项级数称为幂级数，其中数列an(n=0,1,…)称 为幂级数的系数 下面着重讨论xo=0的情形，即 ∑anx”=a0+ax+a2x2+…+anx”+ n=0 ”-xx<1即是此份形， 00 例如，幂级数 n=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 , 1 1 1 0 x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称