第7为 第十章 常数项级数的橇念和性质 常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质 第1节 第十章
一、常数项级数的概念 引例圆的面积问题 依次作圆内接正3×2”(n=1,2,…)边形，设a1表示 内接正六边形面积，a表示边数增加 时增加的面积，如此继续进行n次， Sn=a1+a2+…+am n→o时，这个和越近似于圆的面积S 即 S limS,lim(a +a2 +..+a,) n→o0 n→o0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、常数项级数的概念 引例 圆的面积问题. 依次作圆内接正 边形, 这个和越近似于圆的面积 S . 设 a1 表示 即 内接正六边形面积, ak 表示边数增加 时增加的面积,如此继续进行n次
定义1设给定一个数列41,42，，…，4n,…将各项依 次相加，简记为∑4n,即 n=l 00 ∑24n=4+42+4+…+4n十 n=1 称上式为无穷级数，其中第n项n称为级数的一般项。 级数的前n项和 s。=∑4，=41+42+43++47 i 称为级数的部分和 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 定义1 设给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依 , 1 n n u 即 称上式为无穷级数，其中第 n 项 n u 称为级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为
定义2如果级数∑u,的部分和数列{sn}有极限s,即 n= lim s =S n→oo 则称无穷级数收敛，s称为级数的和，记作 S=∑4n=4十2+…+4n+ n= 如果{S}没有极限，则称无穷级数发散，这时级数没 有和. 当级数收敛时，其部分和s是级数和s的近似值，称 Tn=S一Sn=弘n+1十4n2十…十4n+k十为级数∑4，的 余项 1n= BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 如果{sn }没有极限，则称无穷级数发散，这时级数没 有和． 当级数收敛时，其部分和sn是级数和s的近似值，称 rn ＝s－sn ＝un+1＋un+2＋…＋un＋k＋…为级数 的 余项． 则称无穷级数收敛， s称为级数的和，记作 如果级数 的部分和数列{sn 定义2 }有极限s，即
例10.1.3讨论公比为g的等比级数（又称几何级数） ∑ag”=a+aq+ag2+…+ag”+…(a≠0) n=0 的敛散性 解：若g≠1，则部分和 Sn=a+aq+ag2+…+ag-la-ag” 1-q 当g<1时，由于1img”=0,因而lims=g n→00 n>00 等比级数收敛，其和为”g 当q>1时，由于1imq”=o,因而lims.=o, n 1n→o0 n->oo 这时等比级数发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例10.1.3 讨论公比为q 的等比级数 (又称几何级数) 的敛散性. 解: 若 q a a q n 1 因而 1 lim a n q n s 等比级数收敛 , ; 1 q a 因而 lim , n n s 则部分和 这时等比级数发散 . 其和为