北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第10章 无穷级数 第4节 函数展开成幂级数

第4为 第十章 岛数展开成暴级数 泰勒级数 二、函数展开成幂级数 三、函数的幂级数展开式的应用 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第4节 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十章 三、函数的幂级数展开式的应用

一、泰勒级数 复习：f(x)的n阶泰勒公式 若函数f(x)在xo的某邻域内具有n+1阶导数，则在 该邻域内有： f(x)=f(x)+f(xo)(x-xo)+"o(x-xo)2 21 ++9（x-”+R, n! 其中n(x)= J2x-(5在x与之间) (n+1)川 称为拉格朗日余项 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、泰勒级数 其中 Rn (x)  (  在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项. 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( )     n n x x n f  则在 复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式 f (x)  f (x0 )  f (x0 )(x  x0 )  2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x   n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( )   R (x)  n 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 该邻域内有 :

若函数f(x)在x,的某邻域内具有任意阶导数，则称 )+joXx-)+(x-2 21 m(o2(x-x)P+ nl 为f(x)的泰勒级数， 当x。=0时，泰勒级数又称为麦克劳林级数 待解决的问题 1)对此级数，它的收敛域是什么？ 2)在收敛域上，和函数是否为fx)? BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 f (x0 )  f (x0 )(x  x0 )  2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x     n  n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数. 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数

定理1 设函数f(x)在点x的某一邻域U(xo)内具有 各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是f(x)的泰勒公式余项满足：limR,(x)=0 正-e-.4w 9s网-2- k- f(x)=S(x)+R(x) l1imR,(x)=lim[f(x)-Sn+1(x)]=0,x∈U(xo)） n-→o BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理1 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: lim ( )  0.  R x n n 证明: ( ) , ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x n f x f x      令 ( ) ( ) ( ) 1 f x S x R x  n  n   lim R (x) n n lim ( ) ( ) 1 f x S x n n     0 , ( ) 0 xU x k n k k n x x k f x S x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1      ( ) 0 xU x 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有

定理2如果f(x)能展开成x的幂级数，则这种展开式是 唯一的，且与它的麦克劳林级数相同 证：设f(x)所展开成的幂级数为 f(x)=o+ax+a2x2+…+anx”+…,x∈(-R,R) 则 ao f(0) f'(x)=a1+2a2x++nanx”-+…;a1=f'(0) f”(x)=2la2++n(n-1)anx”-2+;a2=f"(0) f((x)=nlan+.. an =(0) 显然结论成立 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理2 如果f (x) 能展开成 x 的幂级数, 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展开成的幂级数为 则 ( ) 2 ; 1 f  x  a1  a2 x  nan x n  (0) 1 a  f  ( ) 2! ( 1) ; 2 f  x  a2  n n  an x n  (0) 2! 1 2 a  f  ( ) ! ; f (n) x  n an  (0) ( ) ! 1 n n n a  f 显然结论成立 . (0) 0 a  f 则这种展开式是