第2节 第十章 常款项级款的审敛法 一 正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第2节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 第十章
一、正项级数及其审敛法 00 若n≥0，则称∑4n 为正项级数 n=] 定理1正项级数∑4n收敛 部分和数列{sn} n= (n=1,2,…)有界 证：>”若∑n收敛，则{s,}收敛故有界 n=1 一”4n≥0，.部分和数列{sn}单调递增 又已知{sn}有界，故{s}收敛，从而∑n也收敛 n=] BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、正项级数及其审敛法 若 0, un n1 n u 定理 1 正项级数 收敛 部分和数列 有界. 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数. 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 则 收敛
定理2（比较审敛法） 设∑4，∑yn 都是正项级数！ 且un≤Vn(n=1,2,…) (1)如果级数∑y,收敛，则级数∑ 4n也收敛 n= n=l (2)如果级数∑un发散，则级数∑y,也发散 n=l n= 证：(1)由定理1可知，当级数∑y,收敛时，其部分和 数列必有界，于是有0，使得 0≤∑y≤M, k= BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理2 (比较审敛法) 设 且 (1) 如果级数 则级数 (2) 如果级数 则级数 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散. 都是正项级数, (n＝1,2，…) . 证：(1)由定理1可知，当级数 收敛时，其部分和 数列必有界，于是有M>0，使得
又4n≤y,(n=1,2,…),故 0s∑4s∑≤M, 因而级数 ∑4n的部分和数列有界，级数∑4，收敛 n=l n=] 00 (2)若级数∑4n发散，则级数∑，必发散. n=] n=1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 又un≤vn (n＝1,2，…)，故 因而级数 的部分和数列有界，级数 收敛． (2) 若级数 发散,则级数 必发散．
推论设∑，∑. 都是正项级数，并且4≤wm (心0，n2N,N为某一自然数) 00 (1)如果级数 ∑收敛，则级数∑4，也收敛 n=1 n= (2)如果级数∑n发散，则级数∑yn也发散. n= n=1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 推论 设 (1) 如果级数 则级数 (2) 如果级数 则级数 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 都是正项级数,并且un≤kvn ( k>0，n≥N，N为某一自然数 )