北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第10章 无穷级数 第5节 傅里叶级数

第5节 第十章 停里叶级款 以2π为周期的函数展开成傅里叶 级数 二、周期为2的周期函数的傅里叶级数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第5节 一、以2π为周期的函数展开成傅里叶 级数 二、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 第十章 傅里叶级数

一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 简单的周期运动：y=Asin(ot+p)(谐波函数) (A为振幅，o为角频率，o为初相) 复杂的周期运动：y=A0+∑An sin(not+pn) 7n=] (谐波迭加 An sin en cosnot An coson sinnot ao=Ao,an=An sinon-bn An coson,@t=x 得函数项级数 +∑(a,coSnX+b.sinnx） 2 n=] 称上述形式的级数为三角级数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上 页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : A n t A n t n sinn cos   n cosn sin  令 sin , an  An n cos , bn  An n 得函数项级数 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a n x b n x      为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数

1.三角级数及三角函数系的正交性 组成三角级数的函数系： 1,cosx,Sinx,cos2x,sin2x,…,cosx,sinx,… 在[-π，上正交，即其中任意两个不同的函数之积在 [-π，]上的积分等于零 证：1-cosnxdx=∫元1 sinnxdx=0（ (n=1,2,…） 元 元 cos kx cosnx dx coskxcosnx =[cos(k+n)x+cos(k-n)x] [cos(k+n)x+cos(k-n)x ]dx=0 (k n) 同理可证：sinkx sinnxdx=0(k≠n)） ["sin kx cosnxdx=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 cos(k n)x cos(k n)x d x π 2 π 1      组成三角级数的函数系： 证:   π π 1 cos nxd x   π π 1 sin nxd x  0 cos kx cos nxdx π π   0 sin sin 0 π π   同理可证 : kx nxdx 正交 , 上的积分等于零. 即其中任意两个不同的函数之积在 π π sin cos 0 k x nx x d    (k  n ) 1.三角级数及三角函数系的正交性

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[一兀，] 上的积分不等于零.且有 1ldx=2π -元 [cos2nxdx=元 (n=1,2,3,… ∫sin2nxdx=元 1+cos2nx 1-cos 2nx cos-nx= sin2 nx= 2 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS ①-8 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 上的积分不等于零. 1 1d 2 π π π    x sin nxdx 2 π π  cos n xdx 2 π π  , 2 1 cos 2 cos2 nx nx   2 1 cos 2 sin2 nx nx   且有  π  π 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在

2.函数fx)的傅里叶级数 设f(x)是周期为2元的周期函数，且 j)-空+a,o四-，如N） 00 ① n=1 右端级数可逐项积分，则有 「a,=f()cosdx (n=1,2,3,…） =f(x)sinndx (n=1.2,3..) 证：由定理条件，对①在[-兀，逐项积分，得 ed=2ja-awx+jm知sr 一元 =a0π BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n      右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件,                 1   π π π π π π 0 π π d cos d sin d 2 ( )d n n n x a nx x b nx x a f x x ① ② 对①在 逐项积分, 得 2.函数f (x)的傅里叶级数