第6节 第九章 高斯公式与斯花克斯公式 高斯公式 二、斯托克斯公式 三、空间曲线积分与路径无关的条件 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 第6节 一、高斯公式 二、斯托克斯公式 三、空间曲线积分与路径无关的条件 高斯公式与斯托克斯公式 第九章
一、高斯公式 定理1设空间闭区域2由分片光滑的闭曲 面∑所围成，Σ的方向取外侧，函数P,O,R在 斯，CF 2上有一阶连续偏导数，则有 dv=fPdyd=+Qdzdx+Rdxdy 。 2 dV=(Pcosa+QcosB+Rcosy)dS. 这里是2的整个边界曲面的外侧，cosa,cos,cosy 是Σ上点(x,y,)处的法向量的方向余弦.公式叫做 高斯公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 高斯 返回 束
目录 上页 下页 返回 结束 一、高斯公式 定理1 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有一阶连续偏导数 , Pd y d z Qd z d x Rdxd y 面 所围成, 函数 P, Q, R 在 则有 高斯 的方向取外侧, 这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα，cosβ，cosγ 是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦．公式叫做 高斯公式．
证明：设2：1(x,y)≤z(x,)≤2(x,),(x,)∈Dx 称为XY-型区域，∑=马1U2U3,:2=1(xy), 2:2=2(x,y),则 .ar-{w =jDn{Rx,y2a,y - R(x,y,=(x,y))dxdy Rdxdy=()Rdxdy R(dxdy-dxd BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回
目录 上页 下页 返回 结束 2 3 1 z y x Dxy O R(x, y, ) R(x, y, ) d xd y : ( , ), 1 1 z z x y 证明: 设 , 1 2 3 Dx y ( , ) 2 z x y ( , ) 1 z x y Rd xd y 2 1 ( , ) ( , ) d d d x y z x y D z x y R z x y z 2 d R V z 1 3 Rd xd y 称为XY -型区域 , : ( , ), 2 2 z z x y 则 R(x, y, )dxdy Dx y Dx y ( , ) 2 z x y R(x, y, ( , ))d xdy 1 z x y
所以 2cr-i.Nx31rd 若2不是Y-型区域，则可引进辅助面 将其分割成若干个Y-型区域，在辅助面 正反两侧面积分正负抵消，故上式仍成立 类似可证 v-fPdvd m.8影ar-.e:dx 三式相加，即得所证Gauss公式： 号 )dv =∯Pdyd=+-Od=dx+-Rdxdy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 若环
目录 上页 下页 返回 结束 所以 d R V z R x y z x y ( , , )d d . 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 在辅助面 类似可证 d Q V y Pd y d z Qd z d x Rd xdy d P Q R V x y z Qd z d x d P V x Pd y d z 三式相加, 即得所证 Gauss 公式：
例9.6.1用高斯公式计算月(x-y)dxdy+(y-z)xdydz 其中∑为柱面x2+y2=1及平面z=0,z=3所围空间 闭域2的整个边界曲面的外侧 解：这里P=(y-z)x,Q=0,R=x-y 利用高斯公式，得 原式=j川。y-z)dxdydz 利用质心公式，注意y=0,= (0-川2 dxdyd:-= 9π 2 思考：若改为内侧，结果有何变化？ 若Σ为圆柱侧面（取外侧，如何计算？ BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 x 3 z 1 y 例9.6.1 用高斯公式计算 其中 为柱面 闭域 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用高斯公式, 得 原式 = P ( y z)x, Q 0, R x y 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 利用质心公式, 注意 2 3 y 0,z O