南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第三章 微分中值定理与导数的应用 3.3 泰勒公式

第三节泰勒公式

第三节 泰勒公式

一、泰勒公式 问题的提出 △y≈y f(x)-f(xo)f(xo)(x-xo) f(x)f(xo)+f(xo)(x-xo) 微分代替增量的实质是用一次多项式代替函数本身！ 优点：容易计算； 缺点：1.精度不高；2.误差具体多少不明确

一、泰勒公式 •问题的提出  y dy 0 0 0 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( )     0 0 0 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( )     微分代替增量的实质是用一次多项式代替函数本身！ 优点：容易计算； 缺点：1.精度不高；2.误差具体多少不明确

一、 泰勒公式 目的 希望找一个n次的多项式 P(x)=a+a(x-xo)+a(x-xo)2+...+a(x-xo)" 近似代替fx),使得精度较高，并且误差明确. •设想 Pn(c)与fx)在x的各阶导数（直到(+1）阶导数)相等： fxo)=Pr(xo), f(xo)=P'(xo), f"(o)=P"(xo), "(c0)=Pm"(o), f(()=P (m()

•目的 一、泰勒公式 2 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ... ( )n P x a a x x a x x a x x n n         希望找一个n次的多项式 近似代替f(x)，使得精度较高，并且误差明确. Pn (x)与f(x)在x0的各阶导数(直到(n1)阶导数)相等: f(x0 )Pn (x0 ), f (x0 )Pn (x0 ), f (x0 )Pn (x0 ), f (x0 )Pn (x0 ),      , f (n) (x0 )Pn (n) (x0 ). •设想

•多项式系数的确定 Ao)=Pn(o)=ao2 ao=Axo), f'(xo)=P'(xo)=a, a1=f'(x), f"(xo)=P,"(x)-2!a2, a-jMx). f"co)=Pm"(o上=3la3, f(()=P,()=nlan () P((x)=n!a

Pn (x)a0a1 (xx0 ) a2 (xx0 ) 2     an (xx0 ) n P , n (x) a12a2 (xx0 )     nan (xx0 ) n1 P , n (x)2a2 32a3 (xx0 )     n(n1)an (xx0 ) n2 P , n (x)3!a3432a4 (xx0 )      n(n1)(n2)an (xx0 ) n3 P , n (n) (x)n!an . •多项式系数的确定 a0 , a0  f(x0 ), a1 , a1  f (x0 ), 2!a2 , 3!a3 ,      , f(x0 )Pn (x0 ) f (x0 )Pn (x0 ) f (x0 )Pn (x0 ) f (x0 )Pn (x0 ) f (n) (x0 )Pn (n) (x0 )  n!an .      , ( ) 2! 1 2 0 a  f  x , ( ) 3! 1 3 0 a  f  x , ( ) ! 1 0 ( ) f x n a n n 

•多项式系数的确定 a-右k=0.12, 于是所求多项式为 P.6=Hf'-x+2f",)6-x ++af(-)

于是所求多项式为 ( ) ! 1 0 ( ) f x k a k k  (k0,1,2,  ,n). Pn (x)  f(x0 ) f (x0 )(xx0 ) (xx0 ) 2 ( ) 2! 1 0  f  x ( ) ! 1 0 ( ) f x n     n (xx0 ) n . •多项式系数的确定