第二节洛必达法则 -、 型未定式 二、∞ 型未定式 00 三、其他未定式
三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 0 0 第二节 洛必达法则
未定式 定义若mf=m)=0,则称m但为。型未定式 0 8(x) 若imf)=o,limg)=,则称1mf为二型未定式 8(x) 0 msmc为。 型未定式 0 sin bx 一为型未定式 00
定义 若lim ( ) lim ( ) 0 f x g x ，则称 ( ) lim ( ) f x g x 为 0 0 型未定式 若lim ( ) lim ( ) f x g x ， ，则称 ( ) lim ( ) f x g x 为 型未定式 0 sin lim x sin ax bx 为 0 0 型未定式 ln lim x x x 为 型未定式 未定式
型未定式 0 定理1设(1)lim f(x)=1img(x)=0; (2)fx),g(x)在点x,的某去心邻域内可导，并且g'(x)≠0， (3)极限m四存在或为∞ 6g'(x) 那么 limf=lim f'(x) 68(x)→68'(x)
一、 0 0 型未定式 定理 1 设（1）lim ( ) lim ( ) 0 0 0 f x g x x x x x ； （2） f (x), g(x)在点 0 x 的某去心邻域内可导，并且 g (x) 0， （3）极限 ( ) ( ) lim 0 g x f x x x 存在或为 那么 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 g x f x g x f x x x x x
型未定式 0 注记1：定理1的作用 给出了。型未定式m侧与其m的关系 0 8(x) g'(x) 把求。型未定式m因问题转化为求m因 0 8(x) →6g'(x) 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限 来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
一、 0 0 型未定式 注记 1：定 理 1 的作用 给出了 0 0 型未定式 ( ) lim ( ) f x g x 与其 ( ) lim ( ) f x g x 的关系 把求 0 0 型未定式 ( ) lim ( ) f x g x 问题转化为求 ( ) ( ) lim 0 g x f x x x 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限 来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
型未定式 0 分析由于mfx)=mg)=0,m四与x无关因此可以假定f,)=g,)=0, x→6g(x) 0 f(x)f(x)-f(o) g(x) g(x)-g(xo) 0； 柯西中值定理 f(x)-f=f'() (5介于x。及x之间)， g(x)-g(x) g'(5) 0 x→x时5→x。 lim)=limf) x→6g(x)x6g'(x)
分 析 由于lim ( ) lim ( ) 0 0 0 f x g x x x x x ， 0 0 ( ) lim , ( ) x x f x x g x 与 无关 因此可以假定 f (x0 ) g(x0 ) 0， 柯西中值定理 ( ) ( ) f x g x 0 0 ( ) ( ) = ( ) ( ) f x f x g x g x 0 0 ( ) ( ) = ( ) ( ) f x f x g x g x ( ) ( ) f g （ 介于 0 x 及 x 之间）， 0 x x 时 0 x 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x g x g x . 一、 0 0 型未定式