第四节函数的单调性与凸凹性 基本内容 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点
第四节 函数的单调性与凸凹性 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点 基本内容
复习函数单调递增与单调递减的定义 设函数y=f)的定义域为D,区间IcD. (1)如果对于区间I上任意两点x1,2,当x,<x时，恒有 f(x)<f(x2) 称函数x)在区间I上是单调递增. (2)如果对于区间I上任意两点1，x2,当x<x,时，恒有 f(x)>f(x2) 称函数fx)在区间I上是单调递减
复习函数单调递增与单调递减的定义 设函数 y f(x)的定义域为 D, 区间 I D. （1）如果对于区间 I上任意两点 x1，x2 , 当 1 2 x x 时, 恒有 称函数 f(x)在区间 I上是单调递增. ( ) ( ) 1 2 f x f x （2）如果对于区间 I上任意两点 x1，x2 , 当 1 2 x x 时, 恒有 1 2 f x f x ( ) ( ) 称函数 f(x)在区间 I上是单调递减
函数单调性的判定法 函数y=孔x)的图象有时上升，有时下降.如何判断函数的图象 在什么范围内是上升的，在什么范围内是下降的呢？ 观察与思考 ) 函数的单调性与导数的符号 有什么关系？ •观察结果 函数单调增加时导数大于零， 函数单调减少时导数小于零： 0 a b
一、函数单调性的判定法 函数y=f(x)的图象有时上升, 有时下降. 如何判断函数的图象 在什么范围内是上升的, 在什么范围内是下降的呢？ •观察结果 函数单调增加时导数大于零, 函数单调减少时导数小于零. •观察与思考 函数的单调性与导数的符号 有什么关系？
定理1（函数单调性的判定法） 设函数fx)在4，b上连续，在(a,b)内可导. (1)如果在(a,b)内f)>0,则fx)在[a,b上单调增加； (2)如果在(a,b)内f'x)<0,则fx)在a,上单调减少. 证明：只证(1).在[a,b]内任取两点x1,x2x<x2), 由拉格朗日中值公式，有 Ax)-fx)=f(x)(x2-x)(xx<x) 因为f'x)>0,x2-x>0,所以 fx2)-fx1)=f'(x)c2-x1)>0, 即 fx)f,), 这就证明了函数fx)在4，b]内单调增加
定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导. (1)如果在(a, b)内f(x)>0, 则f(x)在[a, b]上单调增加 (2)如果在(a, b)内f(x)<0, 则f(x)在[a, b]上单调减少. 由拉格朗日中值公式, 有 f(x2 )f(x1 )=f(x)(x2 x1 ) (x1<x<x2 ). 因为f (x)>0, x2 x1>0, 所以 f(x2 )f(x1 )f(x)(x2 x1 )>0, 即 f(x1 )<f(x2 ) , 这就证明了函数f(x)在[a, b]内单调增加. 证明: 只证(1). 在[a, b]内任取两点x1 , x2 (x1<x2 )
、】 函数单调性的判定法 2.判定定理的应用： (1)判断函数在某一区间上的单调性 证明函数在某区间上单调递增、单调递减 (2)求函数的单调区间 (3)证明不等式 (4)确定某些方程实根的个数
2 .判定定理的应用： （1）判断函数在某一区间上的単调性 （2）求函数的单调区间 （3）证明不等式 （4）确定某些方程实根的个数 证明函数在某区间上单调递增、单调递减 一、函数单调性的判定法