第五节函数的极值与最大值最小值
第五节 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法 1. 极值的定义 设函数y=fx)的定义域为D.如果存在x,的某一邻域U(x)cD,使得对任意 的xeU(x), (1)都有fw)≤fx)则称函数y=f在点x,处有极大值fx,.点x,称为极大值点 (2)都有f(x)≥fx), 则称函数y=fx)在点，处有极小值fx).点x,称为极小值点 极大值和极小值统称为极值；极大值点和极小值点统称为极值点
一、函数的极值及其求法 设函数y f x ( )的定义域为D .如果存在 0 x 的某一邻域 0 U x D ( ) ，使得对任意 的 0 x U x ( )， 1. 极值的定义 （1）都有 0 f x f x ( ) ( ) 则称函数y f x ( )在点 0 x 处有极大值 0 f x( ).点 0 x 称为极大值点. （2）都有 0 f x f x ( ) ( ) ，则称函数y f x ( )在点 0 x 处有极小值 0 f x( ) .点 0 x 称为极小值点. 极大值和极小值统称为极值；极大值点和极小值点统称为极值点
一、函数的极值及其求法 2 极值的判定 定理1（必要条件）设函数∫(x)在x点处可导，且在xo点取得极值，则必有 f'(x)=0 注记1：可导函数的极值点一定是驻点.但驻点却不一定是极值点. 如y=x的驻点是x=0,但函数在在x=0附近无极值 注记2：函数的极值点可能是驻点也可能是不可导的点.如函数 f(x)=x在点x=0处不可导，但函数在x=0处取到极小值
定理 1 (必要条件) 设函数 f (x)在 0 x 点处可导,且在 0 x 点取得极值,则必有. 2 极值的判定 0 f x ( )=0 注记 1:可导函数的极值点一定是驻点. 但驻点却不一定是极值点. 如 3 y x 的驻点是 x 0，但函数在在x 0附近无极值 一、函数的极值及其求法 注记 2：函数的极值点可能是驻点也可能是不可导的点. 如函数 f (x) x 在 点 x 0处不可导,但函数在 x 0处取到极小值
一、函数的极值及其求法 例1：判断正误 (1)极值点一定在区间内部取得，不能在区间端点取得。 (2)连续函数的极大值点和极小值点可能不唯一 (3)定义域内连续函数的极大值一定大于极小值 (4)定义域内可导函数一定有极值点. X o ax x2 x3X4 b
1 x 4 x3 x 2 a x b x o y 例 1：判断正误 （1）极值点一定在区间内部取得,不能在区间端点取得. （2）连续函数的极大值 点和极小值点可能不唯一 （3）定义域内连续函数的极大值一定大于极小值 （4）定义域内可导函数一定有极值点. 一、函数的极值及其求法
一、函数的极值及其求法 问题1：如何判断函数的驻点是函数的极值点？， 问题2：如何判断函数的不可导点是极值点？
问 题 1 ：如何判断函数的驻点是函数的极值点？, 问题 2：如何判断函数的不可导点是极值点？ 一、函数的极值及其求法