结论函数项级数的每一项在a,b上连续,并且 级数在[a,b上收敛,其和函数不一定在[a,b上 收敛.同样函数项级数的每一项的导数及积分所 成的级数的和也不一定等于他们和函数的导数及 积分 问题对什么级数,能从每一项的连续性得出和 函数的连续性,从每一项的导数及积分所成的级 数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢?
函数项级数的每一项在[a,b]上连续，并且 级数在[a,b]上收敛，其和函数不一定在[a,b]上 收敛．同样函数项级数的每一项的导数及积分所 成的级数的和也不一定等于他们和函数的导数及 积分． 结论 对什么级数，能从每一项的连续性得出和 函数的连续性，从每一项的导数及积分所成的级 数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？ 问题
二、函数项级数的一致收敛性 定义设有函数项级数∑u1(x)如果对于任意 给定的正数E,都存在着一个只依赖于e的自 然数N,使得当n>N时,对区间I上的一切 x,都有不等式 r,(x=s(x)-s,(x)<e oo 成立,则成函数项级数∑un(x)在区间/上一致 n=1 收敛于和s(x),也称函数序列sn(x)在区间I上 致收敛于s(x)
二、函数项级数的一致收敛性 设有函数项级数 =1 ( ) n un x ．如果对于任意 给定的正数 ，都存在着一个只依赖于 的 自 然 数 N ，使得当 n N 时，对区间 I 上的一切 x，都有不等式 r (x) = s(x) − s (x) n n 成立，则成函数项级数 =1 ( ) n n u x 在区间 I上一致 收敛于和s(x)，也称函数序列s (x) n 在区间 I 上 一致收敛于s(x)． 定义
几何解释: 只要n充分大(n>N),在区间Ⅰ上所有曲 线y=S(x)将位于曲线 y=s(x)+E与y=(x)-E之间 J =S(x)+E s(X (x)-E
只要 n充分大 (n N),在区间 I 上所有曲 线 y s (x) = n 将位于曲线 y = s(x) + 与 y = s(x) − 之间. x y o I y = s(x) − y = s(x) + y = s(x) y s (x) = n 几何解释:
例2研究级数 ∴十 十 x+1(x+2x+1 x+n x+n-1 在区间[0,+∞)上的一致收敛性 解∵:Sn(x)= xtn s(x=lims, (x)=lim-=0(0sx< +oo) n→0 n=ox+n 余项的绝对值 =s(x)一S.(x ≤-(0≤x<+) x+nn
研究级数 + + − + + + + + − + + + 1 1 1 1 1 2 1 1 1 x x x x n x n 在区间[ 0,+ )上的一致收敛性. 例2 解 , 1 ( ) x n s n x + = 0 (0 ) 1 ( ) lim ( ) lim = + + = = → → x x n s x s x n n n 余项的绝对值 (0 ) 1 1 ( ) ( ) + + = − = x x n n r n s x s n x