第六章微分中值定理及其应用 ★★★ 拉格朗日定理和函数的单调性 §2桓西中值定理及不定式极限 焘勒公式 ★§5函数的凹凸性与拐点 ☆§6函数图象的过论
§1 拉格朗日定理和函数的单调性 §2 柯西中值定理及不定式极限 §3 泰勒公式 §4 函数的极值与最值 §5 函数的凹凸性与拐点 §6 函数图象的讨论
第六章微分中值定理及其应 §1拉格朗日定理和函数的单调性
§1 拉格朗日定理和函数的单调性
问题的提出 我们知道,导数是刻划函数在一点处变化 率的数学模型,它反映的是函数在一点处的局 部变化性态,但在理论研究和实际应用中,常 常需要把握函数在某区间上的整体变化性态, 那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何 关系呢?中值定理正是对这一问题的理论诠释。 中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该 区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既 是利用微分学知识解决应用问题的数学模型,又 是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型
一 问题的提出 我们知道，导数是刻划函数在一点处变化 率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局 部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常 常需要把握函数在某区间上的整体变化性态， 那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何 关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。 中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该 区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既 是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又 是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型
微分中值定理 微分中值定理的核心是拉格朗日( Lagrange) 中值定理,费马定理是它的预备定理,罗尔定理 是它的特例,柯西定理是它的推广。 l预备定理—费马( Fermat)定理 若函数f(x)在(a,b内一点x取得最值, 且f(x)在点x可微,则∫(x)=0 费马( Fermat,1601-1665),法国人,与笛卡尔 共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世
二 微分中值定理 微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。 1 预备定理——费马（Fermat）定理 ( ) ( ) 0. ( ) ( , ) 0 0 0 f x x f x = f x a b x 且 在 点 可微，则 若函数 在 内一点 取得最值， 费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔 共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世
几何解释: f(r) 曲线在最高点和最低点 显然有水平切线,其斜 率为,当切线沿曲线连可a:2bx 续滑动时,就必然经过 位于水平位置的那一点
x y o y = f (x) a b 1 2 ab 几何解释: . 0 位于水平位置的那一点 续滑动时，就必然经过 率 为 ，当切线沿曲线连 显然有水平切线，其斜 曲线在最高点和最低点