第十九章含参量积分 ★1含参量正常积分 ★§2含参量反常积分 ★3欧拉积分
§1 含参量正常积分 §2 含参量反常积分 §3 欧拉积分
第十九章含参量积分 §1含参量正常积分
§1 含参量正常积分
含参量正常积分 1、含参量正常积分的定义 设f(xy是定义在矩形域R(a≤x≤b,c≤y≤d)上的二元 函数,当x取{ab上某定值时,函数f(xy)则是定义在c,d 上以y为自变量的一元函数若此时(xy在(上可积, 则其积分值是x在ab上取值的函数,表为 (x)=f(x,y)dy x∈[a2b] 称为含参量x的正常积分,或简称含参量积分
一、含参量正常积分 1、 含参量正常积分的定义 设 是定义在矩形域 上的二元 函数, 当 取 上某定值时,函数 则是定义在 上以 为自变量的一元函数.若此时 在 上可积, 则其积分值是 在 上取值的函数,表为 f (x, y) R(a x b,c y d) x [a,b] f (x, y) [c,d] y f (x, y) [c,d] x [a,b] I(x) f (x, y)dy, x [a,b] d c = 称为含参量 x 的正常积分,或简称含参量积分
2含参量正常积分的性质 ()连续性 若二元函数(xy)在矩形域axsb,C≤y≤a)上连续, 则函数1(x)=f(xy)b在a上连续 证:设x∈[anb对充分小的Ax,有x+Ax∈[a,b于是 I(x+△x)-1(x)=[f(x+△x,y)-f(x,y)hy 由于f(x,y)在R上连续从而一致连续知 vE>0δ>0,Y(x2y1)(x2,y2)∈R2当x1-x2<6,y-y21<, 有f(x,y1)-f(x2,y2)<6
2、 含参量正常积分的性质: (i)、 连续性: 若二元函数 ) 在矩形域 上连续, f ( x , y R ( a x b,c y d ) 则函数 = dc I(x) f ( x , y )dy 在 [ a , b ] 上连续 证 : 设x [a,b],对充分小的 x,有x + x [a,b],于是 I(x x) -I(x) [ f (x x, y) f (x, y)]dy. d c + = + − 由于f (x, y)在R上连续从而一致连续知 0, 0,(x1, y1 ), ( x2, y 2 ) R,当 , , x1 − x2 y1 − y2 ( , ) ( , ) . 1 1 2 2 有 f x y − f x y
故当A<c时有 Ix+△x(x)≤(x+△Axy)=f(xy)b <L Edx=E(d-c) 从而(x)在a,b]上连续 同理可证:若f(x,y)在矩形域R上连续,则含参量y积分 b y)=f(x,y)在c;上连续 注:由连续性,若/(xy)在矩形域R上连续,则x∈[ab都有 limI f(x, y)dy= lim f(x, y)dy x→)xsC Cx→)x 即定义在矩形域上连续,其极限运算与积分运算的顺序是可交换的
故当x 时有 I(x x) -I(x) f (x x, y) f (x, y)dy. d c + + − dx (d c). d c = − 从而I(x)在[a,b]上连续. 同理可证:若f (x, y)在矩形域R上连续， 则含参量y的积分 = b a J(y) f (x, y)dx在[c,d]上连续. 注: 由连续性， 若f (x, y)在矩形域R上连续， 则x0 [a,b],都有 → → = d c x x d x x c lim f (x, y)dy lim f (x, y)dy 0 0 即定义在矩形域上连续， 其极限运算与积分运算的顺序是可交换的