第十四章幂级数 幂级数 函数的幂级数展开
第十四章幂级数 函数的幂级数展开 幂级数
第十四章幂级数 §1幂级数
第十四章幂级数 §1 幂级数
函数项级数的一般概念 1.定义: 设u1(x),u2(x),…,un(x),…是定义在IcR上的 函数则∑u1(x)=1(x)+2(x)+…+un(x)+ n=1 称为定义在区间上的(函数项无穷级数 例如级数∑x=1+x+x2+
一、函数项级数的一般概念 1.定义: 设u1 ( x),u2 ( x),,un ( x),是定义在I R 上 的 函数,则 = + ++ + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x un x n n 称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数. 1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n
2.收敛点与收敛域 如果x∈I数项级数∑un(x)收敛 】 1E 则称x为级数∑un(x)的收敛点,否则称为发散点 = 函数项级数∑u1(x)的所有收敛点的全体称为收鲛域 所有发散点的全体称为发散域
2.收敛点与收敛域: 如果x I 0 ,数项级数 =1 0 ( ) n n u x 收敛, 则称x0为级数 ( ) 1 u x n n = 的收敛点, 否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数 ( ) 1 u x n n = 的所有收敛点的全体称为收敛域
3.和函数: 在收敛域上,函数项级数的和是的函数(x), 称(x)为函数项级数的和函数 s(x)=1(x)+2(x)+…+un(x)+…(定义域是?) 函数项级数的部分和Sn(x), lims t(x)=(x) n→0 余项rn(x)=(x)-Sn(x) imrn(x)=0(在收敛域上) 注意函数项级数在某点x的收敛问题实质上 是数项级数的收敛问题
lim s (x) s(x) n n = → 函数项级数的部分和 余项 r (x) s(x) s (x) n = − n lim ( ) = 0 (x在收敛域上) → rn x n 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题. 3.和函数: s(x) = u1 (x) + u2 (x) ++ un (x) + 在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数. (定义域是?) s (x), n