第四章函数的连续性 A1连续性概念 ★§2连续函数的性质 ★§3闭区间上连续函数的性质
§1 连续性概念 §2 连续函数的性质 §3 闭区间上连续函数的性质
第四章函数的连续性 §1连续性概念
§1 连续性概念
引例求下列函数在x=1处的函数值和极限,并作出图象。 x f(x)=(x+1)2、g(x) 解:1、lmnf(x)=m(x+1)=22、m8(x)=m im(x+1)=2 x-)1 x g(1)不存在 图象: 图象: g(x) f(x)=x+1 x-1 2 (1,2) 2(1,2) X X 从图象上看,f(x)在x=1处“连续g()x租处“间
解：1、 lim ( ) lim ( 1) 2 1 1 = + = → → f x x x x y 1 2 0 1 2 x f (x) = x +1 2、 ( 1) 2 1 1 lim ( ) lim lim 1 2 1 1 = + = − − = → → → x x x g x x x x 1 1 ( ) 2 − − = x x g x (1,2) 从图象上看， 在 处“连续” ， 在 处“间 断” 。 f (x) x =1 g(x) x =1 1、 f (x) = (x +1) 2、 ， 1 1 ( ) 2 − − = x x g x 引例 求下列函数在 x =1 处的函数值和极限，并作出图象。 f (1) = 2 g(1)不存在 图象： 图象： y x 0 1 1 2 2 (1,2)
函数的连续性 ◆函数的增量 设函数yf(x)在点x的某一个邻域l(x0)内有定义 在邻域U(x)内,若自变量x从初值x变到终值x1 则称Dx=x1-x为自变量x的增量 y=(x0 称Df(x+Dx)-f(x)为函数的增量 f(x0+△x) SaXo o x0+△xx
函数的连续性 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0 )内有定义 称Dy=f(x0 +Dx)-f(x0 )为函数y的增量 在邻域U(x0 )内 若自变量x从初值x0变到终值x1 则称Dx=x1 -x0为自变量x的增量 Dx Dy ◆ 函数的增量
、函数连续性的概念 函数的改变量(增量) 当变量x由初值x变到终值x时,称终值与初值 的差x1-x为变量x的改变量(增量),记为△x, △x=x,-x 设有函数y=f(x),在函数定义域内,当x从x 变到x+△x时,函数y相应地从f(x)变到f(x+△x) 称△y=f(x+△x)-f(x 为函数y=f(x)在x处的改变量(增量)
◆ 函数的改变量（增量） 设有函数 ，在函数定义域内，当 从 变到 时，函数 相应地从 变到 称 为函数 y = f (x) 在 处的改变量（增量）。 x x + Dx 0 y ( ) 0 f x ( ) 0 f x + Dx ( ) ( ) 0 0 Dy = f x + Dx − f x y = f (x) 0 x 0 x 当变量 由初值 变到终值 时，称终值与初值 的差 为变量 的改变量（增量），记为 ， 即 x 0 x 1 x 1 0 x − x Dx 1 0 Dx = x − x x 一、函数连续性的概念