第七章实数的完备性 81关实数完备性的基本定理 ,2闭区阊上函性质舶明
§1 关于实数完备性的基本定理 §2 闭区间上连续函数性质的证明 第七章 实数的完备性
第七章实数的完备性 §1关于实数完备性的基本定理
第七章 实数的完备性 §1 关于实数完备性的基本定理
区间套定理 °定义 设闭区间列ab具有如下性质 (an,b][an+i, bn+, n=1 (ii) lim(bn -an)=0 n→0 则称{an,bn为闭区间套简称区间套 说明: 定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即 闭区间的端点满足不等式 a1≤a2s…≤an≤…≤bn≤…≤b2sb
说明: •定义 定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即 闭区间的端点满足不等式: 设闭区间列{[ , ]}具有如下性质: an bn ( ) [ , ] [ , ], 1,2, ; i an bn an+1 bn+1 n = L ( ) lim( - ) = 0, → n n n ii b a 则称{[ , ]}为闭区间套,简称区间套. an bn . a1 a2 an bn b2 b1 L L L 一 区间套定理
定理(区间套定理) 若{anbn是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点5, 使得5∈[an,bn],n=1,2,…即an≤5≤bn,n=1,2,… °定理的几何意义 区间套定理的几何意义是:有一列闭线段(两个端点也属于此 线段后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的长构成的数列以0 为极限,则这一列闭线段存在唯一一个公共点 [[[[[[[[[[[[·]]]]]]]]→
•定理 (区间套定理) •定理的几何意义 区间套定理的几何意义是:有一列闭线段(两个端点也属于此 线段),后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的长构成的数列以0 为极限,则这一列闭线段存在唯一一个公共点 若{[a ,b ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点x , n n [a ,b ],n =1,2,L. n n 使得x a b ,n =1,2,L. n n 即 x x •
●定理的证明 由区间套定义知n內递增有界数列, 依单调有界定理{n极限,且有an≤5,n=12,… 同理,递减有界数列池有极限,并按区间套的条件(1)有 imb=1iman=5,且bn25,n=12,… 从而有an≤5≤bn,n=1,2 下面证明满足题设条件的5是唯一的 设5也满足an≤5≤bn,n=1,2,…
•定理的证明 由区间套定义知{an }为递增有界数列， 依单调有界定理，{an }有极限x， a ，n =1,2,L. n 且有 x 同理，递减有界数列{bn }也有极限，并按区间套的条件(ii)有 lim = lim = x , → → n n n n b a b ，n =1,2,L. n 且 x a b ，n =1,2,L. n n 从而有 x 下面证明满足题设条件的x是唯一的. , 1,2, , 设x '也满足an x ' bn n = L