751反常积分概念 52无分积分性质与收敛_
§1 反常积分概念 §2 无穷积分的性质与收敛判别
第十一章反常积分 81反常积分概念
§1 反常积分概念
.引入 例:求曲线y=2,x轴及直线x=,右边所围成的“开口 曲边梯形”的面积 解:由于这个图形不是封闭的 曲边梯形,而在x轴的正方 y 向是开口的,即这是的积 分区间为[1,∞) b x 故vb>1则的面积对= 显然当b改变时,曲边梯形的面积也随之改变, 故b→+2时,即mn∫=m(-)=1 则所求曲边梯形的面积为1
一 . 引入 例： 曲边梯形”的面积。 求曲线 , 轴及直线 1，右边所围成的“开口 1 2 = x x = x y 0 x y 1 b 2 x 1 y = 解：由于这个图形不是封闭的 曲边梯形,而在x轴的正方 向是开口的，即这是的积 分区间为[1，∞）， x b dx x b A b b 1 ] 1 1 [ 1 1, 1 2 = − 1 = − 故 则 的面积为 显然当b改变时，曲边梯形的面积也随之改变， ) 1 1 lim (1 1 lim 1 2 → + = − = →+ →+ b dx x b b b b 故 时，即 则所求曲边梯形的面积为1
问题的提出 前面遇到的定积分∫(x)dx是普通的积 a、b是确定的常数,且f(x在Ia,b 上连续。 那么如何计算下列两种类型的积分? (1)∫"f(x)d;.f(x)d;。f(x)d (2)∫f(x)这里(x)在或或c (c处于a与b之间)无界
一 问题的提出 前面遇到的定积分 b a f (x)dx 是普通的积 分， a、b 是确定的常数，且 f (x) 在 [a,b] 上连续。 那么如何计算下列两种类型的积分？ + − − + f x dx f x dx f x dx b a (1) ( ) ; ( ) ; ( ) （ 处 于 与 之间）无界。 这 里 （ ） 在 或 或 c a b f x dx f x a b c b a (2) ( ) ,
二无穷限的广义积分 定义1设函数∫(x)在区间{a,+⑩)上连缤,取 b>a,如果极限Ⅷm∫(x)d存在,则称此极 b++0 限为函数∫(x)在无穷区间[a,+0)上的反常积分 记作」。f(x)d x)dx= lim f(x)dx f(x) b→+0a 当极限存在时,称反常积分收敛;当极限不存在 时,称反常积分发散
定 义 1 设函数 f ( x ) 在 区 间 [ a , + ) 上 连 续 ， 取 b a ， 如 果 极 限 → + b a b lim f ( x ) d x 存 在 ， 则 称 此 极 限 为 函 数 f ( x ) 在 无 穷 区 间 [ a , + ) 上 的 反 常 积 分 ， 记 作 + a f ( x ) d x . + a f (x)dx →+ = b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称 反 常 积分收敛 ； 当 极 限 不 存 在 时，称 反 常 积分发散 . 二 无穷限的广义积分