例1求级数y(1)”,1 mn1+、)”的收敛域 解由达朗贝尔判别法 unn(x) ()n+11+xn (n→>∞) x (1)当,<1,→1+x>1 1+x 即x>0或x<-2时,原级数绝对收敛
例 1 求级数 n n n n x ) 1 1 ( ( 1) 1 + − = 的收敛域. 解 由达朗贝尔判别法 ( ) ( ) 1 u x u x n n+ n x n + + = 1 1 1 ( ) 1 1 → + → n x 1, 1 1 (1) + x 当 即 x 0或x −2时, 原级数绝对收敛. 1+ x 1
(2)当 1+x 1,→1+x<, 即-2<x<0时,原级数发散 (3)当1+x=1,→x=0或c=-2, 当x=0时,级数∑(收敛; H=1 oo 当x=-2时,级数∑发散; H=1 故级数的收敛域为(-∞,-2)∪[0,+∞)
1, 1 1 (2) + x 当 1+ x 1, 即− 2 x 0时, 原级数发散. 当 x = 0时, = − 1 ( 1) n n n 级数 收敛; 当 x = −2时, =1 1 n n 级数 发散; 故级数的收敛域为(−,−2)[0,+). (3) 当|1+ x |= 1, x = 0或x = −2
三一函数列与系了 §2函数项级数的一致收敛性
§2 函数项级数的一致收敛性
问题的提出 问题:有限个连续函数的和仍是连续函数,有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和.对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢?对于幂函数是这样的,那么对 于一般的函数项级数是否如此?
一、问题的提出 有限个连续函数的和仍是连续函数，有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对 于一般的函数项级数是否如此？ 问题:
例1考察函数项级数 x+(x2-x)+(x 3 y-)+∴+(x 十 和函数的连续性 解因为该级数每一项都在[0,1是连续的, 且s(x)=x",得和函数: s(x)=Ims(DJ0,0≤x<1, n→0 x=1 和函数(x)在x=1处间断
解 ( ) , n 且 s n x = x 得和函数： 因为该级数每一项都在[0,1]是连续的， = = = → 1, 1. 0, 0 1, ( ) lim ( ) x x s x s n x n 和函数s(x)在 x = 1处间断. 例1 考察函数项级数 x + (x 2 − x) + (x 3 − x 2 ) ++ (x n − x n−1 ) + 和函数的连续性．