柯西中值定理不定式极限62柯西中值定理和不定式极限第八讲不定式极限（二）数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 不定式极限（二） 第八讲 不定式极限
柯西中值定理不定式极限S2柯西中值定理和不定式极限2.二型不定式极限8定理6.8若函数f和g满足：(i) lim g(x) = 00;x-→xo(ii)在点x。的某右邻域U°(x)内二者均可导，且 g(x)± 0;f'(x)=A（A可以为实数，±0,8)lim(ii)g'(x)x-→xo则f(x)f(x)limAg'(x)g(x)x-→xtx-→xt数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 定理6.8 . 2. ∞ 型不定式极限 若函数 f 和 g满足： 0 (i) lim ( ) x x g x → + = ∞； 0 0 (ii) ( ) x Ux 在点 的某右邻域 + 内二者均可导， 且 g x ′() ; ≠ 0 ( ) 0 + ( ) (iii) lim , , . x x ( ) f x A A → g x ′ = ±∞ ∞ ′ 可以为实数 则 0 0 () () lim lim . x x () () x x fx f x A gx g x → → + + ′ = = ′ 不定式极限
柯西中值定理不定式极限s2柯西中值定理和不定式极限分析要证明,对V>0,>0,当x<<+时,f(x)<A+ε成立.A-8<g(x)证 设A为实数.对于任意的ε>0，3x, U'(x,),满足不等式x<x<x,的每一个x,f'(x)- A|<82g(x)由柯西中值定理，存在(x,x)(xo,x)，使f(x)-f(x) -'()g(x)-g(x) g()数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 分析 ( ) . ( ) f x A A g x −< < + ε ε 成立 0 0 要证明,对∀ > ε 0, ∃ > δ 0, 当x xx << +δ 时, 0 1 满足不等式 x xx x < < 的每一个 , 2 ( ) , ( ) f x A g x ′ ε − < ′ 1 01 由柯西中值定理，存在 ξ ∈ ⊂ ( , ) ( , ), xx x x 证 设A为实数. 对于任意的ε > 0, ( ), x1 U x0 ∃ ∈ + 1 1 ( ) () () . ( ) () () fx fx f gx gx g ξ ξ − ′ = − ′ 使 不定式极限
柯西中值定理不定式极限62柯西中值定理和不定式极限从而有f(x)- f(x)f'()a(1)2g()g(x )- g(x)于是f(x)_f(x)g(x)8g(x) g(x) 八 g(x)-g(x)2f(x)-f(x) f'()8(2)A+2)g'()g(x) -g(x)g(x)因为 lim三1，所以由保号性，存在正数g(x)- g(x)x→xot S(<xi -x),使得当x<x<x+,<x,时,数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 从而有 1 1 ( ) () () , (1) ( ) () () 2 fx fx f A A gx gx g ξ ε ξ − ′ −= −< − ′ 不定式极限 于是 2 A ε − < 1 1 () ( ) ( ) . (2) () ( ) () 2 fx fx f A gx gx g ξ ε ξ − ′ = = <+ − ′ + 0 1 ( ) lim 1, x x () ( ) g x → gx gx = − 因为 所以由保号性,存在正数 1 1 () ( ) () () () () ( ) f x f x gx gx gx gx gx − − 1 10 δ ( ) < − x x ， 0 01 1 使得当x xx x << + < δ 时
柯西中值定理不定式极限s2柯西中值定理和不定式极限g(x)> 0,g(x) - g(x)从(2)式得f(x)-f(x)(-4)4-) g(x)g(x)(- (3g(x)由 lim g(x) = o, 得x-→>xo8f(x)- g(x))A-%lim+Lg(x)g(x)2x→x,f(x)(1-g( (4+号)88lim=A++g(x)2g(x)x→x数学分析第六章德微分中值定理及其应用?高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §2 柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理 不定式极限 从(2)式得 不定式极限 1 ( ) 0, () ( ) g x gx gx > − 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) () () () ( ) f x f x g x A A gx gx gx gx ε ε −< − < + − 1 1 () () ( ) 1 () 2 () () g x f x f x A g x gx gx ε − −+ < 1 1 () () 1 . (3) () 2 () g x f x A g x g x ε <− + + + 0 lim ( ) , x x 由 g x 得 → = ∞ + 0 1 1 () () lim 1 x x () 2 () g x f x A g x g x ε → − −+ ; 2 A ε = − + 0 1 1 () () lim 1 x x () 2 () g x f x A g x g x ε → − ++ ; 2 A ε = +