连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的$2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质第四讲连续函数的整体性质数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社
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闭区间上连续函数的反函数的连续函数的局部S2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质闭区间上连续函数的基本性质设f在闭区间[a,b上连续.在本节中将研究f在[a,b]上的整体性质定义1设f(x)为定义在数集D上的一个函数．若存在XED,使得对一切 xED，均有f(x)≤ f(xo)(f()≥ f(x))则称 f(x)在D上有最大(小)值，x。称为最大(小)值点，f(x)称为f(x)在D上的最大(小)值数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社
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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的$2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质例如，符号函数y=sgnx的最大值为1，最小值为-1;正弦函数y=sinx的最大值为1，最小值为-1；函数y=x一[x]的最大值不存在，最小值为零L注意： J=sinx 在(-2)）上既无最大值，又无最小A值(其上确界为1,下确界为-1)定理4.6（最大、最小值定理）若函数f(x)在闭区间[a,bl上连续，则f(x)在[a,b]上有最大、最小值这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的内涵，在今后的学习中有很广泛的应用数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社
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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的$2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质为了更好地证明定理，我们先证明一个引理引理（有界性定理）若函数f(x)在[a,b]上连续，那么f(x)在[a,b]上有界若不然,不妨设 f(x)在[a,b]上无界.则存在证xnE[a,b]，使得f(xn) > n, n = 1,2,...由此得到limf(xn)= +0. 因为(x,}([a,bl)是有界数列，所以由致密性定理,{x,}有收敛子列(αx}设limxn=Xo，由于 ≤xm≤b,由极限的不等式得k->o0数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社
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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性a≤x≤b，故f(x)在xo上连续由归结原则推得+oo = lim f(xn) = lim f(xn )= f(xo),k-00n>00矛盾。所以f(x)在[a,b]上有界。定理4.6的证明由引理和确界原理，存在上确界sup f(x) = M.xe[a,b]下面说明:存在ε[a,b]，使 f(s)=M．若不然,对一切x E[a,b]都有f(x)< M. 令1g(x) :x e[a,b].M- f(x)数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社
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