习题课55函数的凸性与拐点第二十三讲习题课（五）数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 习题课 习题课（五） 第二十三讲
习题课55函数的凸性与拐点重要内容回顾1.函数凸性的定义及其等价的定义：2.凸函数的性质：3.可导函数凸性的等价条件：4.詹森不等式：5.曲线的拐点，数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 习题课 重要内容回顾 3. 可导函数凸性的等价条件； 1. 函数凸性的定义及其等价的定义； 4. 詹森不等式； 5. 曲线的拐点. 2. 凸函数的性质；
习题课65函数的凸性与拐点补充例题例1 证明伯努利(Bernoulli)不等式：(1+x)~≤1+αx, x>-1, 0<α<1;(1+x)~ ≥1+αx, x>-1, α>1.并且当且仅当x=0时等号成立.证 令 f(x)=(1+x)~, : f(x)=α(1+x)-1f"(x) = α(α -1)(1 + x)α-2.当x>-1, 0<α<1时，f"(x)<0,所以f(x)是严格凹函数，因此当x>-1时有f(x)≤ f(O) + f'(O)x即(1+ x)~ ≤1+αx.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 习题课 补充例题 例1 (1 ) 1 , 1, 0 1; x xx α + ≤ + >− < < α α 证明伯努利(Bernoulli)不等式： 证 fx x ( ) (1 )α 令 = + ， (1 ) 1 , 1, 1. x xx α + ≥ + >− > α α 并且当且仅当 x = 0 时等号成立. 1 fx x ( ) (1 )α α − ′ = + ， 2 f x( ) ( 1)(1 ) . x α α α − ′′ = −+ 当 x >− < < 1, 0 1 α 时，f x ′′() 0 < ，所以 f x( ) 是严格 因此当 x > −1 时有 fx f f x ( ) (0) (0) , ≤ + ′ (1 ) 1 . x x α 即 + ≤+α 凹函数
习题课S5函数的凸性与拐点例2设f(x)是开区间I上的凸函数，则对任意闭区间[a,b]CI，f(x)满足利普希茨(Lipschitz)条件，即L> 0, 对Vx',x" [a,b], 有If(x") - f(x)<≤L /x"- x/ .证设 x'<x"，[a,b]cI(开区间),： 日a,b' eI,使α'<a<x'<x"<b<b，根据凸函数的性质,有f(a)- f(a') f(x")-f(x) -f(b')-f(b)a-a'x"-xb'-b于是f(x")-f(x)f(b)- f(b)(f(a)- f(a')≤maxx"-x'b'-ba-a'=L(> 0).数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 习题课 例2 设 fx I ( )是开区间 上的凸函数，则对任意闭区间 证 a a x x bb ′ ′ ′′ ′ << < << ， ∃> ∀ ∈ L x x ab 0, , [ , ], 对 ′ ′′ 有 设 x x ′ ′′ < , 根据凸函数的性质,有 fa fa fx fx fb fb () ( ) ( ) ( ) ( ) () aa x x b b − −− ′ ′′ ′ ′ ≤ ≤ − −− ′ ′′ ′ ′ ， 于是 [ , ] , ( ) ab I f x ⊂ 满足利普希茨(Lipschitz)条件，即 | ( ) ( )| | |. fx fx Lx x ′′ ′ ′′ ′ − ≤− [ , ] ( ), ab I ⊂ 开区间 ∴∃ ∈ ab I ′ ′ , , 使 ( ) ( ) ( ) () () ( ) max , 1 fx fx fb fb fa fa x x b b aa ′′ ′ − −− ′ ′ ≤ ′′ ′ − −− ′ ′ ， = . L ( 0) >
习题课55函数的凸性与拐点2T例3证明不等式sin元x≤x(1-x), x e[0,1]2元证 令f(x)= sin元xx(1- x), x e [0,122元则 f'(x)= 元cos元x元x2f"(x) = -元’ sin元x + π2 ≥ 0.所以f(x)是[0,1]上的连续凸函数，其最大值在端点取得,因此 f(x)≤maxif(O),f(1)) = 0, x E[0,1]即sin元x≤x(1-x), x e[0,1]2本题也可用单调性证明数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 习题课 例3 2 π sinπ (1 ), [0,1]. 2 证明不等式 x x xx ≤−∈ 证 令 2 π ( ) sinπ (1 ), [0,1], 2 fx x x x x = − −∈ 则 2 π 2 ( ) πcosπ π , 2 fx x x ′ = −+ 2 2 fx x ′′( ) =− + π sinπ π ≥ 0. 所以 f x( ) [0,1] 是 上的连续凸函数，其最大值在端点 取得，因此 fx f f x ( ) max{ (0), (1)} 0, [0,1] ≤ = ∈ ， 即 2 π sinπ (1 ), [0,1]. 2 x x xx ≤−∈ 本题也可用单调性证明