函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性罗尔定理与拉格朗日定理第四讲函数单调性的判别数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 函数单调性的判别 第四讲
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性函数单调性的判别若函数f(x)在区间 I上对任意 Xi,X2I,Xi<X2必有 f(x)≤ f(x2)(f(x)≥ f(x2)，则称函数f(x)在区间I上单调增（单调减）.若“≤(≥)改为严格不等号，则相应地称它为严格增(减)下面的定理是本节中的两个主要定理，今后将不断地使用，我们仅对单调增的情形给出证明，单调减的情形请读者自证数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 函数单调性的判别 改为严格不等号, 则相应地称它为严格增 (减). 下面的定理是本节中的两个主要定理, 今后将不 若函数 ( ) , , 1 2 f x 在区间 I上对任意 x x ∈ I , x1 < x2 ( ) ( ) ( ( ) ( )), 1 2 1 x2 必有 f x ≤ f x f x ≥ f 则称函数 f (x)在区间 I上单调增 (单调减 ) . 断地使用. 若“ ≤ (≥) ” 函数单调性的判别 我们仅对单调增的情形给出证明，单调减的情形 请读者自证
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性定理6.3设f(x)在区间I上可导,则f(x)在区间I上单调增(减)的充要条件是： f'(x)≥0(≤0)证若f为递增函数，则当x,x。EI,x≠x,时，有f(x)- f(xo)≥ 0.x-xo令x→x,即得 f(x)≥0.反之,若f'(x)≥0,xEI. Vxi,x, EI (设x; <x,)由拉格朗日中值定理，3E(xj,x,),f(x2)- f(x) = f'()(x2 -x) ≥ 0,即 f(x2)≥ f(x),这就证明了函数 f(x)递增数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 定理6.3 设 fx I fx I ( )在区间 上可导,则 ( )在区间 上单调增 (减)的充要条件是: ( ) 0 ( 0). f x ′ ≥ ≤ 证 0 0 () ( ) 0. fx fx x x − ≥ − 0 0 令 x x fx → ≥ , ( ) 0. 即得 ′ 1 2 由拉格朗日中值定理, ( , ), ∃ ∈ξ x x 若 f 为递增函数， 0 0 则当 xx Ix x , , ∈ ≠ 时，有 ( ) ( ) ( )( ) 0 , f x2 − f x1 = f ′ ξ x2 − x1 ≥ 即 ( ) ( ), 2 1 f x ≥ f x 这就证明了函数 f x() . 递增 函数单调性的判别 反之,若 fx x I ′( ) 0, . ≥ ∈ 12 1 2 ∀∈ < xx I x x , ( ), 设
罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别51拉格朗日定理和函数的单调性定理6.4可微函数f(x)在区间I上严格增(减)的充要条件是： 对一切x EI,f'(x)≥0(f(x)≤0),且满足f(x)=0 的点集不含一个区间由定理6.3可知f(x)递增.若f(x)不证充分性是严格递增，则存在x,x,EI,x,<x2,使f(x)=f(x2).这就得到f(x)在区间(xj,x)上恒为常数，因此 f(x)=O,xE(x,x,)，矛盾.必要性请读者自证数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 定理6.4 可微函数 f (x) 在区间 I 上严格增(减)的充要条件 证 充分性 1 2 f x( ). 2 这就得到 fx x x () ( , ) , 在区间 上恒为常数 对一切x If x f x ∈≥ ≤ , ( ) 0( ( ) 0), ′ ′ f x ′() 0 = 的点集不含一个区间. 1 2 f x x xx ′( ) , ( , ), ≡ ∈ 0 矛盾. 必要性请读者自证. 由定理6.3 ( ) . 可知 f x 递增 若f (x)不 是严格递增， 12 1 2 则存在 x x Ix x , , ∈ < 1 使 f x( ) = 函数单调性的判别 因此 是： 且满足
函数单调性的判别S1拉格朗日定理和函数的单调性罗尔定理与拉格朗日定理推论设函数在区间I上可微，若f'(x)>0(f'(x)<0)则f在I上严格增(严格减)在实际应用中我们经常会用到下面这个事实若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上(严格)增(减)则f(x)在[a,b]上(严格)增(减)作为应用，下面再举两个简单的例子数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 推论 则 f I 在 上严格增( ). 严格减 在实际应用中我们经常会用到下面这个事实. 若 f x ab ( ) [ , ] ( , ) ( ) ( ), 在 上连续，在 a b 上 严格 增 减 则 f x ab ( ) [ , ] ( ) ( ). 在 上 严格 增 减 作为应用，下面再举两个简单的例子. 设函数在区间I fx fx 上可微，若 ′ ′ ( ) 0 ( ) 0, > < ( ) 函数单调性的判别