习题课s4函数的极值与最大（小）值第十九讲习题课（四）数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 习题课 习题课（四） 第十九讲
习题课s4函数的极值与最大（小）值重要内容回顾1.极值判别的三个充分条件：2.最大值和最小值数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 习题课 重要内容回顾 2. 最大值和最小值. 1. 极值判别的三个充分条件；
习题课S4函数的极值与最大（小）值补充例题例1利用极值证明不等式：In(x+ /1+ x°)1(x± 0).x/1+x2 +11/1+x-1，所以等价于证明：解t2/1+x2 +11+xln(x+ /1+x2)> /1+x2 (x± 0)令 f(x)=1+ xln(x+ /1+ x2)- /1+x2数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 习题课 补充例题 例1 2 2 ln( 1 ) 1 ( 0). 1 1 x x x x x + + > ≠ + + 利用极值证明不等式： 解 2 2 2 1 11 , 1 1 x x x + − = + + 所以等价于证明： 2 2 1 ln( 1 ) 1 ( 0). + ++ >+ ≠ xx x x x 2 2 令 fx x x x x ( ) 1 ln( 1 ) 1 , =+ + + − +
习题课$4函数的极值与最大（小）值xx则 f'(x)= In(x + /1 + x2) +x+y1+x+xxV1+x?f'(0) = 0.=ln(x + V1+ x2)11xf"(x) =>0,V1+x?x+V1+x+x因此x=0是,f(αx)唯一的极小值点，自然也是f(x)的最小值点.从而当x≠0时，f(x) > f(0) = 0,即1+ xln(x+ /1+x°)> /1+x2 (x 0).数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 习题课 则 f x ′( ) 2 1 x x − + 2 2 fx x x x x ( ) 1 ln( 1 ) 1 =+ + + − + 2 = ++ ln( 1 ), x x 2 2 1 ( ) (1 ) 1 1 x f x xx x ′′ = + ++ + 2 1 1 x = + > 0， f ′(0) 0, = 因此 x fx = 0 () 是 唯一的极小值点,自然也是 f x( ) 从而当x ≠ 0时, fx f ( ) (0) 0, > = 即 2 2 1 ln( 1 ) 1 ( 0). + ++ >+ ≠ xx x x x 2 2 2 ln( 1 ) (1 ) 1 1 x x x x xx x = ++ + + ++ + 的最小值点
习题课s4函数的极值与最大（小）值2例2 a为何值时，f(x)=asinx+=sin3x在x:-一元33时取得极值？求出该极值，并指出它是极大还是极小2解 f'(x)=acosx+cos3x，因为 f'(兰元)=?322所以+cos3Lacos一元一元-a+1=0,33 2得到 a= 2.又 f"(x)=-2sinx-3sin3x,221=-2sin二元 <0.1二元33(g)-V3.因此 f(x)在a =2时取得极大值数学分析 第六章 微分中值定理及其应用高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 习题课 a 为何值时, 时取得极值？ 解 fx a x x ′( ) cos cos3 , = + 因为 2 ( π) 0 3 f ′ = ， a = 2. 又 fx x x ′′( ) 2sin 3sin3 , =− − 因此 fx a () 2 在 = 时取得极大值 2 π 3. 3 f = 例2 2 2 cos π cos3 π 3 3 a + 求出该极值, 并指出它是极大还是极小. 所以 1 1 0 2 =− + = a ， 1 ( ) sin sin3 3 fx a x x = + 在 2 π 3 x = 得到