55函数的凸性与拐点第二十二讲函数凸性的进一步例曲线的拐点数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 函数凸性的进一步例 曲线的拐点 第二十二讲
55函数的凸性与拐点例4 设 f(x)是区间(a,b)上的一个严格凸函数，若 f(x)是,f(x)的一个极值,则 f(x)仅有惟一的极值，并且是极小值证应当注意，这里并没有假设函数f(x)的可微性，所以例3的方法就失效了。因为f(x)严格凸,所以当x,<x<x,时f(x)-f(x) f(x)-f(x)(*)Xo -XiX2 -Xo由于f(x)是极值，因此当x,x,充分接近x,时,有[f(x) -f(x)].[f(x2) - f(x)]≤0数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 0 若 fx fx ( ) () 是 的一个极值,则 f x( ) 仅有惟一的极 值，并且是极小值. 证 例 4 设 是区间 上的一个严格凸函数， f x ab () (, ) 性，所以例 3 的方法就失效了. 102 因为 f x( ) 严格凸,所以当 x x x < < 时, 01 20 0 1 2 0 () () () (). (*) fx fx fx fx xx xx − − < − − 01 20 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 0. fx fx fx fx −⋅− ≤ 0 由于 f x( ) 是极值, 1 2 0 因此当 xx x , 充分接近 时,有 应当注意，这里并没有假设函数 f (x) 的可微
65函数的凸性与拐点所以 f(x)- f(x)≤0, f(x2)- f(xo)≥0,即f(x)是极小值下面证唯一性对于任意x E(xo,b)，因为f(x)是极小值，所以存在Xi E(xo,x),使得f(x)≥ f(x)f(x)是严格凸函数，有0≤(x)-() <f(x)-f(x)x-xoXi -xo由此得 f(x)>f(xo)数学分析第六章微分中值定理及其应用6高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 所以 01 20 fx fx fx fx ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0, −≤ −≥ 0 即 f x() . 是极小值 对于任意 因为 f (x0 x xb ∈( , ), 0 ) 是极小值， 1 0 fx fx ( ) ( ). ≥ f (x) 是严格凸函数，有 1 0 0 1 0 0 ( ) ( ) () ( ) 0 , fx fx fx fx x x xx − − ≤ < − − 0 由此得 ( ) ( ). fx fx > x xx 1 0 ∈( , ), 使得 所以存在 下面证唯一性
55函数的凸性与拐点同理可证：对于任意 xE(a,x),仍有f(x)>f(xo)设f(x)有另一极小值f(x*).根据以上讨论，将x*和xo分别看作极值点时，有f(x)> (x*) 和 f(x*) > f(x)同时成立，矛盾。所以极值点惟一数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 0 fx fx ( ) ( ) ∗ > 和 同时成立, 设 f (x) 有另一极小值 f x( ) . ∗ x ∗ 和 x0 分别看作极值点时, 有 根据以上讨论，将 同理可证：对于任意 仍有 f (x) > f (x0 x ax ∈( , ), 0 ) . 矛盾. 所以极值点惟一. 0 fx fx () () ∗ >
S5函数的凸性与拐点a+b+c3例5 证明不等式(abc)≤a"bc,其中a,b,c均为正数证 设 f(x)=xlnx,则f'(x)=lnx+1, f"(x) =二 > 0,x所以f(x)在x>0时为严格凸函数，由詹森不等式(a+b+)≤((a)+ f(b)+ (c),3即a+b+ca+b+c=Ina"b'csIn333又因a+b+c3/abc 3数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 均为正数. 所以 fx x () 0 在 > 时为严格凸函数，由詹森不等式 1 ( ( ) ( ) ( )), 3 3 abc f fa fb fc + + ≤ ++ 3 ( ) , , abc a c b abc a b c a b c + + 例 5 证明不等式 ≤ 其中 证 f ′(x) = ln x + 1, 1 f x( ) 0, x ′′ = > 1 ln ln . 3 33 abc abc abc abc ++ ++ ≤ 即 又因 3 , 3 abc abc + + ≤ 设 则 fx x x ( ) ln , =