带有拉格朗日型余在近似计63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用第十二讲麦克劳林公式的例数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 麦克劳林公式的例 第十二讲 带有佩亚诺型余项的泰勒公式
在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用例1验证下列公式：nx1. ex2!1!n!s2m-1xm-2. sinx = x3!(2m-1)!2mx2m-3. cosx =ox2!(2m)!3+h4. ln(1 + x) =23n数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 例1 验证下列公式: 2 e 1 ( ); 1! 2! 1. ! n x n xx x o x n =+ + + + + 3 2 1 1 2 sin ( 1) ( ); 3! (2 1 . ) 2 ! m x x m m x x o x m − − = − + +− + − 2 2 2 1 cos 1 ( 1) ( ); 2! (2 )! 3. m x x m m x o x m + = − + +− + 2 3 1 ln(1 ) ( 1) ( ); 2 3 4. n xx x n n x x o x n − + = − + + +− + 带有佩亚诺型余项的泰勒公式
在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用α(α-1)5. (1+x)° =1+αx+2!α(α-1)..(α-n+1)x" + o((x"n!6.1+x+x2+...+x"+o(x")1-x以上这些公式均为最基本的泰勒公式(麦克劳林公式)，请务必牢记下面验证1和6，其余请读者自已验证数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 1 2 6. 1 ( ). 1 n n x x x ox x =+ + + + + − 以上这些公式均为最基本的泰勒公式(麦克劳林公 2 ( 1) 5 (1 ) 1 2! . xx x α α α α − + =+ + + + ( ); ! ( 1) ( 1) n n x o x n n + α α − α − + 式), 请务必牢记. 下面验证 1 和 6, 其余请读者自己验证. 带有佩亚诺型余项的泰勒公式
在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用验证 1 因为 f(k)(x)=e*，所以f(0) = f'(0) = ... = f(n)(0) = 1.于是e的n阶麦克劳林公式为thx1-42!1!n!trx2!1!n!f'(0)(0)f(x) = f(0)1!n!数学分析第六章德微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 于是e x的 n 阶麦克劳林公式为 ( ). 1! 2! ! e 1 2 n n x o x n x x x = + + ++ + 验证 1 因为 ( ) e , (k ) x f x = 所以 (0) (0) (0) 1. ( ) = ′ = = = n f f f 2 e 1 ( ); 1! 2! 1. ! n x n xx x o x n =+ + + + + 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 ( ) (0) (0) ( ) (0) ( ) 1! ! n n n f f f x f x x ox n ′ = + ++ +
在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用1!1则 g'(x) :一验证 6 设g(x)(1-x)21-x2!n!ng"(x) :(1 - x)n+1 )(1-x)3故g(0) = 1, g(0) = 1!, g"(0) = 2!, ...,g(n)(0) = n!.于是在x=0的n阶麦克劳林公式为1-x11+x+x?+...+ x" +o(x")1-x11+x+x2+...+x" +o(x")1-x数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 2 1! () , (1 ) g x x ′ = − 3 2! () , , (1 ) g x x ′′ = − 故 1 0 1 x n x = − 于是 在 的 阶麦克劳林公式为 ( ) 1 ! () , (1 ) n n n g x x + = − 1 ( ). 1 1 2 n n x x x o x x = + + + + + − 验证 6 设 1 () , 1 g x x = − 则 g(0) = 1, g′(0) = 1!, g′′(0) = 2!, ( ) , (0) !. n g n = 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 1 2 1 ( ). 1 n n x x x ox x =+ + + + + −