第九章欧氏空间S6对称矩阵的标准形S1定义与基本性质S2标准正交基S7向量到子空间的距离一最小二乘法83同构S8酉空间介绍S4正交变换小结与习题S5子空间
§2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §1 定义与基本性质 §6 对称矩阵的标准形 §8酉空间介绍 §7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 小结与习题 第九章 欧氏空间 §5 子空间
$ 9.5子空间一、正交子空间二、子空间的正交补69.5子空间
§9.5 子空间 一、正交子空间 §9.5 子空间 二、子空间的正交补
欧氏空间中的正交子空间1. 定义:1）V与V,是欧氏空间V中的两个子空间，如果对VαeVi, βeV, 恒有(α,β)= 0,则称子空间V与V,为正交的，记作VIV2.2）对给定向量αEV，如果对VβeVi，恒有(α,β)= 0,则称向量α与子空间V正交，记作α工V89.5子空间
§9.5 子空间 一、欧氏空间中的正交子空间 1．定义： 1) V1 与 V2 是欧氏空间V中的两个子空间，如果对 ( , ) 0, = 则称子空间 V1 与 V2 为正交的，记作 1 2 V V⊥ . ( , ) 0, = 则称向量 与子空间 正交，记作 1 ⊥ V . V1 1 2 V V , , 恒有 2) 对给定向量 V , 如果对 V1 , 恒有
注:1VIV,当且仅当V中每个向量都与V,正交V 1V, = VnV, =(0).2： VαVnV=(α,α)=0=α=0. )③当αlV且αeV时，必有α=069.5子空间
§9.5 子空间 注： ① V V 1 2 ⊥ 当且仅当 V1 中每个向量都与 V2 正交． ② 1 2 1 2 V V V V ⊥ = {0}. ③ 当 ⊥ V1 且 V1 时，必有 = 0. ( ) 1 2 = = V V ( , ) 0 0
2．两两正交的子空间的和必是直和。证明：设子空间V,Vz,,V两两正交，要证明V④V,④④V，只须证：V+V,++V,中零向量分解式唯一设 α +α, +...+α,=0, α, eVi, i=l,2,.",s: V,lV,i+j.. (α,0) =(α,α, +α, +...+α,) =(α;,α;) = 0由内积的正定性，可知α,=0，i=1,2,…,s.89.5子空间Λ
§9.5 子空间 证明：设子空间 V V V 1 2 ,,, s 两两正交， 2．两两正交的子空间的和必是直和． 1 2 , 要证明 V V V s V V V 1 2 + + + s 中零向量分解式唯一． 只须证： 设 1 2 0, , 1,2, , + + + = = s i i V i s , V V i j i j ⊥ 1 2 ( ,0) ( , ) ( , ) 0 = + + + = = i i s i i 由内积的正定性，可知 0, 1,2, , . i = =i s