第九章欧氏空间S6对称矩阵的标准形S1定义与基本性质S2标准正交基S7向量到子空间的距离一最小二乘法83同构S8酉空间介绍S4正交变换小结与习题85子空间
§2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §1 定义与基本性质 §6 对称矩阵的标准形 §8酉空间介绍 §7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 小结与习题 第九章 欧氏空间 §5 子空间
同构S 9.3欧氏空间的同构二、同构的基本性质69.3同构
§9.3 同构 一、欧氏空间的同构 §9.3 同构 二、同构的基本性质
欧氏空间的同构一定义:实数域R上欧氏空间V与V称为同构的,如果由V到V有一个1一1对应,适合(α+β)=α(α)+α(β),1)2) (kα)=ko(α),Vα,βeV, VkeR3) (α(α),α(β)=(α,β),这样的映射α称为欧氏空间V到V的同构映射69.3同构A
§9.3 同构 一、欧氏空间的同构 定义:实数域R上欧氏空间V与V'称为同构的, 如果由V到V'有一个1-1对应 ,适合 1) ( ) ( ) ( ), + = + 2) ( ) ( ), k k = , , V k R 3) ( ), ( ) ( , ), ( ) = 这样的映射 称为欧氏空间V到V'的同构映射
二、同构的基本性质1、若α是欧氏空间V到V'的同构映射,则也是线性空间V到V'同构映射2、如果α是有限维欧氏空间V到V'的同构映射,dimV = dimv'.则3、任一n维欧氏空间V必与R"同构69.3同构
§9.3 同构 1、若 是欧氏空间V到V'的同构映射,则 也是 线性空间V到V'同构映射. 2、如果 是有限维欧氏空间V到V'的同构映射, 则 ' dim dim . V V = 3、任一 n 维欧氏空间V必与 同构. n R 二、同构的基本性质
证:设V为n维欧氏空间,8j,&2,,8n为V的一组标准正交基,在这组基下,V中每个向量α可表成X,ERα= X,e +X,e2 +...+Xnen,作对应 :V→R", o(α)=(xj,X2,",xn)易证α是V到R"的1-1对应。且α满足同构定义中条件1)、2)、3),故为由V到R"的同构映射,从而V与R"同构69.3同构区区
§9.3 同构 标准正交基, 证: 设V为 n 维欧氏空间, 1 2 , , , n 为V的一组 在这组基下,V中每个向量 可表成 1 1 2 2 , n n i = + + + x x x x R 作对应 1 2 : , ( ) ( , , , ) n V R x x x → = n 易证 是V到 的 对应. n R 1 1 − 且 满足同构定义中条件1)、2)、3), 故 为由V到 的同构映射,从而V与 同构. n R n R