第三节泰勒公式 P,(=,)+fx,x-x)+2f- t+化- n阶泰勒多项式 下面的定理将证明该多项式的确是所要找的n次多 项式. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第三节 泰勒公式 ( )( ) . ! 1 ( )( ) 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 n n n f x x x n p x f x f x x x f x x x + + − = + − + − n 阶泰勒多项式 下面的定理将证明该多项式的确是所要找的 n 次多 项式
第三节泰勒公式 2.泰勒(Taylor)中值定理 泰勒中值定理如果函数fx)在含有的某个开 区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数，则对任一x∈ a,b),有fx)=f)+f'x-)+2f"(x-) (X-+R() 其中R)=0”且x-x叫，5介于与x之间 (n+1)月 证明 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第三节 泰勒公式 2. 泰勒(Taylor)中值定理 泰勒中值定理 如果函数 f (x) 在含有 x0 的某个开 区间 (a , b) 内具有直到 n + 1 阶的导数，则对任一 x (a , b) ，有 ( )( ) ( ). ! 1 ( )( ) 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 f x x x R x n f x f x f x x x f x x x n n n + + − + = + − + − 其中 ( ) , ( 1)! ( ) ( ) 1 0 ( 1) + + − + = n n n x x n f R x 介于 x0 与 x 之间. 第三节 泰勒公式 证明 只需证明 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) + + − + = − = n n n n x x n f R x f x p x ( 在x0与x之间) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 0 + = − + + n f x x R x n n n Rn (x)的n+1阶导数 (x-x0 ) n+1 的n+1阶导数 由此可得证明方法是：对两个函数 Rn (x) 及 (x-x0 ) n+1 在以 x0 及 x 为端点的区间上应用柯西中值定理