则三种金属的数量为 AB=3299) 定义：设A=(aa)m,B=b),那么矩阵C=6)n, (其中9，=a6,+a:b,++a,=∑0.b,）称为矩阵A与B的乘积，记为 C=AB. 由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵A与B的乘积C的第ī行第j列的元素等 于第一个矩阵A的第í行与第二个矩阵B的第j列的对应元素的乘积的和.当然， 在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等 注意：一个行矩阵与一个列矩阵的乘积是一个数. 注意：一个列矩阵与一个行矩阵的乘积是一个矩阵. 「410] 时1期陈-日日5s临银 2102 134 解因为A是2×4矩阵，B是4×3矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵A与B 可以相乘，其乘积AB=C是一个2×3矩阵，按公式有 「410] c=B=[}03-113E9-2- 2102201991 134 -3-6 解按公式有 a[ [6]88 在例1中A是2×4矩阵，B是4×3矩阵，乘积AB有意义而BA却没有意义.由此
则三种金属的数量为 AB = (32 9 9) . 定义：设 ( ) ( ) ik sn kj nm A = a , B = b ,那么矩阵 ( ) ij sm C = c , （其中 å= = + + + = n k ij i j i j in nj ik kj c a b a b a b a b 1 1 1 2 2 L ）称为矩阵 A 与 B 的乘积，记为 C = AB . 由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵 A与 B 的乘积C 的第i 行第 j 列的元素等 于第一个矩阵 A的第i 行与第二个矩阵 B 的第 j 列的对应元素的乘积的和.当然， 在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等. 注意：一个行矩阵与一个列矩阵的乘积是一个数. 注意：一个列矩阵与一个行矩阵的乘积是一个矩阵. 例 1 求矩阵 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - = ú û ù ê ë é - = 1 3 4 2 0 1 1 1 3 4 1 0 2 1 0 2 1 0 3 1 A 与B 的乘积. 解 因为 A 是2´4矩阵，B 是 4´3矩阵，A 的列数等于 B 的行数，所以矩阵 A 与 B 可以相乘，其乘积 AB=C 是一个2´3矩阵，按公式有 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - ú û ù ê ë é - = = 1 3 4 2 0 1 1 1 3 4 1 0 2 1 0 2 1 0 3 1 C AB = ú û ù ê ë é - - 9 9 11 9 2 1 例 2 求矩阵 ú û ù ê ë é - - = ú û ù ê ë é - - = 3 6 2 4 B 1 2 2 4 A 与 的乘积 AB 及 BA. 解 按公式有 ú û ù ê ë é- - =ú û ù ê ë é - - ú û ù ê ë é - - = 8 16 16 32 3 6 2 4 1 2 2 4 AB ú û ù ê ë é =ú û ù ê ë é - - ú û ù ê ë é - - = 0 0 0 0 1 2 2 4 3 6 2 4 BA 在例 1 中 A 是2´4矩阵，B 是4´3矩阵，乘积 AB 有意义而 BA 却没有意义.由此
可知，在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序.AB是A左乘B(B被A左乘) 的乘积，BA是A右乘B的乘积，AB有意义时BA可以没意义. 在例2中AB存在而BA也存在但AB≠BA.以及BA=O但是A≠O且B≠O,所以有 BA=O推不出A=0或B=0 矩阵乘法的性质：A=a,)n,B=ba)n,C=(cu) 则：(1)结合律(AB)C=A(BC): (2)分配律A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA (3)2(AB)=(A)B=A(2B): (4)AE=EA=A; 定义：主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的n×n矩阵 10.0 01.0 (00.1 称为n级单位矩阵，记为E。，或者在不致引起含混的时候简单写为E.显然有 AuE Am,E.AmAm 我们还可以定义矩阵的方幂.设A是一个n×n矩阵，定义4=AA. 并且A严=A,=A,(A)=A.换句话说，A就是k个A连乘.当然只能 对行数与列数相等的矩阵来定义. 四、矩阵的转置 定义：把一矩阵A的行列互换，所得到的矩阵称为A的转置，记为 设4=22) 14) (458 ,所谓的转置就是指矩阵A「 25 28
可知，在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序.AB 是 A 左乘 B（B 被 A 左乘） 的乘积，BA 是 A 右乘 B 的乘积，AB 有意义时 BA 可以没意义. 在例 2 中 AB 存在而 BA 也存在但 AB ¹ BA.以及 BA=O 但是 A ¹ O且B ¹ O ,所以有 BA = O推不出 A=O 或 B=0. 矩阵乘法的性质： ( ) ( ) ( ) jk nm kl mr sn ij A = a , B = b , C = c 则：（1）结合律 ; ( AB)C = A(BC) （2）分配律 , A(B + C) = + AB AC (B + C) A = + BA CA; （3）l ( AB) = = (l l A) B A B ( ); （4） AE = = EA A; 定义：主对角线上的元素全是 1，其余元素全是 0 的n ´ n矩阵 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 L M M M L L 称为 n 级单位矩阵，记为 En ，或者在不致引起含混的时候简单写为 E .显然有 AsnEn = Asn , Es Asn = Asn . 我们还可以定义矩阵的方幂.设 A是一个n´ n矩阵，定义 k k A = A A A L 14243 并且 , m k m k A A A + = 1 A A = ， k l kl (A ) = A .换句话说， k A 就是 k 个 A连乘.当然只能 对行数与列数相等的矩阵来定义. 四、矩阵的转置 定义：把一矩阵 A的行列互换，所得到的矩阵称为 A的转置，记为 T A . 设 122 458 A æ ö = ç ÷ è ø ，所谓的转置就是指矩阵 1 4 2 5 2 8 T A æ ö ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø