f(x)d xao=元ao?元I f(x)cos kxdx = cos kx dx +2一元8元Zcos kx sinnx dxcoskxcosnxdx+bnXan元元n=l元cos? kxdx = ak(利用正交性)元f(x)coskxdx (k =1, 2,...)一ak元类似地，用sinkx乘①式两边，再逐项积分可得b==』" (x)sinkxdx (k=1,2, .)TOe000?机动自录上页下页返回结束
= + − − kx x a f x kx x cos d 2 ( )cos d 0 = + n 1 + − a kx nx x n cos cos d b kx nx x n cos sin d − a kx x k cos d 2 − = a f x kx x k ( )cos d 1 − = ( k =1, 2, ) (利用正交性) ( )sin d ( 1, 2, ) 1 = = − b f x kx x k k a f (x)d x 1 0 − = 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
80aoZ(an cos nx + b, sin nx )+f(x2n=11元f(x)cos nxd x(n=0,1,...)n元元6f(x)sin nxd x(n=1,2,...)n元由公式②确定的an，bn称为函数f(x)的傅里叶系数；以f(x)的傅里叶系数为系数的三角级数①称为f(x）的傅里叶级数傅里叶，J.-B.-JO0000x博里叶目录上页下页返回结束
叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ; ( ) = = + + 1 0 cos sin 2 ( ) n n n a nx b nx a f x − = = ( )cos d ( 0,1, ) 1 an f x nx x n 由公式 ② 确定的 ① ② 以 − = = ( )sin d ( 1, 2, ) 1 bn f x nx x n 的傅里 的傅里叶级数 . 称为函数 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束
设f(x)是周期为2元的定理3（收敛定理展开定理）周期函数，并满足狄利克雷（Dirichlet)条件1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点2）在一个周期内只有有限个极值点注意：函数展成则f(x)的傅里叶级数收敛，且有傅里叶级数的条80 + Z(an cos nx + b sinnx )件比展成幂级数2的条件低得多n=1x为连续点f(x),f(xt)+ f(x)x为间断点2元.20其中an,bn为f(x)的傅里叶系数．（证明略00l00简介目录上页下页返回结束
定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 = f (x) , , 2 ( ) ( ) + − f x + f x x 为间断点 其中 an bn , 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 ) x 为连续点 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多. 简介 目录 上页 下页 返回 结束
例1.设f(x）是周期为2元的周期函数，它在【-元，元）上的表达式为-1, 一元≤x<0f(x)1. 0≤x<元将f(x)展成傅里叶级数x01元龙解：先求傅里叶系数I"f(x)cos nxdxan=二1元：元 1 . cos nxd x(-1)cosnxdx+元J0元J一元=0(n=0,1,2,...)O0000?机动自录上页下页返回结束
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为 − − = x x f x 1, 0 1, 0 ( ) 解: 先求傅里叶系数 = − + − 0 0 1 cos d 1 ( 1)cos d 1 nx x nx x = 0 ( n = 0 ,1, 2 , ) 将 f (x) 展成傅里叶级数. o y x −1 − 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(x)sin nxdx5一元1（7" 1 sin nxdx(-1)sinnxd x +JOT元元 C元211cos nxcos nx- cosn元]+元n元nn元JO元4当n=1,3,5,2n元-n元0当n=2,4,6,.:1/sin(2k -1)x +...: f(x) =sinx + =sin3x32k-1元(—00<x<+00,x±0,±元,±2元,..)O000x机动目录上页下页返回结束
= − + − 0 0 1 sin d 1 ( 1)sin d 1 nx x nx x 0 1 cos − = n nx 0 1 cos − + n nx n n 1 cos 2 = − n n 1 ( 1) 2 = − − = , 4 n 0 , 当n =1, 3 , 5 , 当n = 2 , 4 , 6 , f x = sin x + 4 ( ) sin 3x + 3 1 − + − + k x k sin(2 1) 2 1 1 (− x + , x 0 , , 2 , ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束