第八章第四节多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线O0000x复习目录上页下页返回结束
第四节 复习 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第八章
复习：平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线 y= f(x)在点(xo,yo)有切线方程y- yo = f'(xo)(x -xo)1法线方程y-yo=f'(xo)dyF'(x,y)若平面光滑曲线方程为F(x,y)=0,因dxF(x,y)故在点(xo,o)有Fl(xo, yo)(x - xo) +F)(xo, yo)(y - yo)= 0切线方程法线方程F)(xo, yo)(x - xo) -F(xo, y)(y - yo)= 00000机动自录上页下页返回结束
复习: 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线 ( , ) 0 0 x y 切线方程 0 y − y 法线方程 0 y − y 若平面光滑曲线方程为 d ( , ) d ( , ) x y y F x y x F x y = − 故在点 切线方程 法线方程 ( ) 0 y − y 0 0 ( , ) F x y y + 0 0 0 ( , ) ( ) F x y x x x − = 0 ( )( ) 0 0 = f x x − x ( ) ( ) 1 0 0 x x f x − = − 在点 有 有 因 0 0 0 ( , ) ( ) 0 F x y y y x − − = 0 0 ( , ) F x y y ( ) 0 x − x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、空间曲线的切线与法平面空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限位置.过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面T儿rM点击图中任意点动画开始或暂停oeo0x机动目录上页下页返回结束
一、空间曲线的切线与法平面 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置. T M 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 平面. 点击图中任意点动画开始或暂停
T1.曲线方程为参数方程的情况TI: x=p(t), y=y(t), z=o(t)MM'设 t = to 对应M(xo,yo,zo)t = to + △t 对应 M(xo +△x, yo + Ay,zo +△z)割线MM'的方程：x-XoZZo-y-yo△xzAy上述方程之分母同除以△t，令△t→0,得x-Xo- -yo - z-Zo切线方程p'(to)y'(to)'(to)O0000x机动自录上页下页返回结束
1. 曲线方程为参数方程的情况 切线方程 0 0 0 x x y y z − z = − = − ( , , ) 0 0 0 0 设 t = t 对应M x y z ( , , ) 0 0 0 0 t = t + t 对应M x + x y + y z + z ( ) 0 t ( ) 0 t ( ) 0 t 机动 目录 上页 下页 返回 结束T M 割线 MM的方程:
T此处要求βp'(to),yr'(to),の'(to)不全为0,元T如个别为0.则理解为分子为0M切线的方向向量：r(t)T=(p'(to), y'(to), 0'(to))0称为曲线的切向量：T也是法平面的法向量，因此得法平面方程p'(to)(x - xo) + yr'(to)(y - yo)+'(to)(z - zo) = 0说明:若引进向量函数 r(t)=(p(t),(t),の(t)),则 I为 r()的矢端曲线,而在 to 处的导向量r(to)=(p'(to), y'(to), 0'(to))就是该点的切向量OeoD0X机动目录上页下页返回结束
( )( ) 0 0 t x − x 此处要求 ( ), ( ), ( ) 0 0 0 t t t 也是法平面的法向量, 切线的方向向量: 称为曲线的切向量 . ( )( ) 0 0 + t y − y +(t0 )(z − z0 ) = 0 如个别为0, 则理解为分子为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 M 不全为0, ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 T = t t t 因此得法平面方程 说明: 若引进向量函数 r(t) = ((t), (t), (t)) , 则 为 r (t) 的矢端曲线, 0 而在 t 处的导向量 ( ) ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 0 r t = t t t 就是该点的切向量. o r(t) T