《复变函数》课程教学课件（讲稿）第03章 复变函数的积分

x = 3t例1 计算[_zdz OA:(0≤t≤1),原点到3+4的直线y= 4tz=z(t)=x(t)+iy(t), t:α(起点)→β(终点)解zdz = ((3+4i)t·(3+4i)dty=(3+4i) T'tdt=(3+4i)A2[z dz = fc(x +iy)(dx +idy)C又解0(xdx-ydy+ifydx +xdyx将x，y分别代入，x=3t，dx=3dt，（0≤≤1)..16

- 16 - 3 : (0 1), 3 4 C 4 x t zdz OA t i y t        例 计算 原点到 的直线  1 1 0 (3 4 ) (3 4 ) C zdz i t i dt      1 2 2 0 1 (3 4 ) (3 4 ) 2    i t dt i  解 ( )( ) C C z dz x iy dx idy     C C    x dx y dy i y dx x dy   又解 A o x y z z t x t iy t t  ( ) ( ) ( ), : ( ) ( )    起点 终点  C 将 x，y分别代入， x=3 t，dx=3d t，(0≤ t≤1)

例1 计算[zdzOA选择原点到3+4的折线（紫色）z=z(t)= x(t)+iy(t), t:α(起点)→ β(终点)C, : z =3t,0≤t ≤1;解紫色线yC, : z =3+i4t,0≤t ≤1Azdz +/ z dzC33t d(3t)+ ('(3+i4t)d(3 + i4t)+X0C124i-7(3 + 4i)222，直线和折线情况，两个积分都与路径无关容易验证，：:V连接OA的曲线C，其上的积分：J。zdz=(3+4i)17

- 17 - 3 4 C zdz OA i  例 计算 选择原点到 的折线(紫色)  1 解紫色线 1 2 : (3 4 ) C 2   OA C zdz i 连接 的曲线 ，其上的积分  A o x y z z t x t iy t t  ( ) ( ) ( ), : ( ) ( )    起点 终点  2 3 : 3 , 0 1; : 3 4, 0 1 Cz t t C z it t       2 3 ddd CCC z z zz z z    1 1 0 0    3 d(3 ) (3 4 )d(3 4 ) t t it it   C2 C3 24 7 1 2 (3 4 ) 2 2 i i    容易验证，直线和折线情况，两个积分都与路径无关

dz例2 计算Φ这里C表示以z.为中心，)n+1Zor为半径的正向圆周,n为整数Z-Z, =reiey解 C的方程:z=Z+reie0≤0≤2元H2元 d(zo + rei0)dz大rn+l,i(n+1)e)n+I07-Zo)eC10riei derd(ei)02.元2元北rn+1,i(n+1)rn+li(n+1)e（21d0=2元in=0Jo(cosno-isinn)do=0 n±0(n+0时，1/e^in0=e^-ino，然后利用欧拉公式）eio=cos+isine

- 18 - 1 0 0 , ( ) , . n C dz C z z z r n   计算 这里 表示以 为中心  为半径的正向圆周 为整数 例 2 0 : 02 i C z z re  解 的方程      o x y i z  z re 0  z 0 z r C 2 2 0 0 2 0 2 0 (cos sin ) 0 0 n in n id i n i d i r e n i nd n r                         2 0 1 1 ( 1) 0 0 2 2 1 ( 1) 1 ( 1) 0 0 ( ) ( ) ( ) i n n in C i i n in n in dz d z re zz re rd e rie d re re                          (n≠0时，1/e^ inθ=e^- inθ ，然后利用欧拉公式 ) cos sin i e i     

明星公式！贯穿整个课程2元in=0dzdz(-=-(-)D0n±0这个公式说明了一个非常重要的性质！积分结果与圆周的半径r及圆心Z。无关！该公式非常重要！经常用。还可以写成2元in=1dzd210n±1J(z-20l=r (z-z0)n19

- 19 - 这个公式说明了一个非常重要的性质！ ：     0 1 1 | | 0 0 2 0 0 0 n n C zz r dz dz i n zz zz n                   积分结果与圆周的半径 r及圆心 Z0 无关！ 该公式非常重要！经常用。还可以写成     0 | | 0 0 2 1 0 1 n n C zz r dz dz i n zz zz n                 明星公式！贯穿整个课程

y例3计算「zdz的值zo=1+i1)C= C, =Oz(直线)C2)C = C2 +C, (见图)0X解 l)C: z=t+it, 0≤t≤1J,=dz = f"(t-it)d(t+ it) = I'(t-it)(1+i)dt = [2tdt =2)C, :z=t, 0≤t<l; C,:z=1+it, 0<t<1L=dz = (_zdz +( zdzftdt+f(1-+1722注意：这里沿不同路径积分的值不同。20-

- 20 - o x y z 1i 0 C1 C2 C3 1 0 2 3 d 1) ( ) 2) ( ) C z z C C Oz CC C     计 算  的 值 直 线 见 图 例3 1 解 1) : , 0 1 C z t it t    11 1 00 0 d ( )d( ) ( )(1 )d 2 d 1 C z z t it t it t it i t t t           2 3 2) : , 0 1; : 1 , 0 1 C z t t C z it t     2 3 ddd CC C zz zz zz      1 1 0 0 1 1 d (1 ) d ( ) 1 2 2        t t it i t i i   注意：这里沿不同路径积分的值不同