《复变函数》课程教学课件（讲稿）第03章 复变函数的积分

证明：令z=x+iykz=z-zk-I=x+iyk，读zeta从积分的定义Sh =Ek +ink u(k,nk)=u v(Sk,nk)=V出发探讨证明w=f()=u+iv需(含++)u=ux,y) v=v(x,y)=2u(5k,n)Axx -v(5t,n)Ayk当8→0时，均是k=1实函数的曲线积分1+i[Zv(5k,n)Ax +Z u(5k, nk)AyT(5)AS为=-的长度（弧长），k=lk-8=max(4S.)：f(z)在C上连续，所以u(x,y),v(x,y)在c上连续，故[u(x, y)dx[v(x,y)dy[v(x, y)dx[u(x, y)dy都存在!: [ f(2)dz = lim S, = lim Z f(Sk)Az, =([ u(x, y)dx-[ v(x, y)dy)n>00n>α=CC+i([ v(x, y)dx +[u(x, y)dy)故极限存在，C得证！11

- 11 - 1 (, ) (, ) k k k k kk k k k k k kk k kk k z x iy z z z x i y      i u uv v             令 1 1 1 1 (, ) (, ) [ ( , ) ( , ) ] (5) n n kk k kk k k k n n kk k kk k k k u xv y iv x u y                   1 1 ( ) ( )( ) n n n kk k k k k k k S f z u iv x i y            1 ( )d lim lim ( ) ( ( , )d ( , )d ) ( ( , )d ( , )d ) n n kk n n C CC k C C f zz S f z ux y x vx y y i vxy x uxy y                 证明： 当 时，均是   0 实函数的曲线积分。 ( ) ( , ), ( , ) C (, ) (, ) (, ) (, ) ! CCCC f z C uxy vxy u x y dx v x y dy v x y dx u x y dy   在 上连续，所以 在 上连续， 故 、 、 、 都存在 由积分 的定义 故极限存在， 得证！ ( ) ( ) ( ) u u x,y v v x,y w f z u iv      1 1max{ } k kk k k n S zz  S       ⌒ 为 的长度(弧长)， 从积分的定义 出发探讨证明 ζ，读zeta

沁Jcf(z)dz=Judx-vdy+i_vdx+udy可以得到两个结论推论1.当f(z)是连续函数,C是光滑曲线时，( f(z)dz一定存在。推论2.（f(z)dz可以通过两个二元实函数的线积分来计算积分计算方法1：直接积分，通过两个二元实函数的第二型曲线积分进行计算-12

- 12 - 1. ( ) , ( ) C fz C f z dz  推论 当 是连续函数 是光滑曲线时， 一定存在。 2. ( ) C f z dz 推论 可以通过两个二元实函数的线积分来计算。   ( )d d d d d CC C f z z ux vy i vx uy      可以得到两个结论 积分计算方法1：直接积分，通过两个二元实函数 的第二型曲线积分进行计算

积分计算方法2：利用曲线C的参数方程将它化为定积分计算（直接把参数方程带入）设光滑曲线C:z=z(t)=x(t)+iy(t), t:α(起点)→β(终点)可利用曲线C的参数方程将它转化为t的定积分进行计算，由曲线积分的计算方法我们有：w=f()=u+iv[ f(=)dz = [_udx - vdy+i/, vdx + udyu=uxy) v=(x,y)B终[(2)dz =[ (u[x(t),y()]x(1)-[x(0), y(0)ly(0)dtx= x(t)（起）dx = x'(t)dt终y=y(t)([x(t), y(t)]x'(t)+ux(t)y(t)ly(t))dx起dy= y'(t)dt(u[x(t), y(t)] + iv[x(t), y(t)l)(x'(t)+iy'(t))dtJ[z(t)]z(t)dt[ f(=)dz = [ f[=(t)]='(t)dt-(6)13

- 13 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ) ( )] ( )} C f z dz u x t y t x t vxt y t y t dt i vxt y t x t uxt y t y t dt                终 起 终 起 f [ ( )] ( )d zt z t t      { [ ( ), ( )] [ ( ), ( )]}( '( ) '( ))d u x t y t iv x t y t x t iy t t      设光滑曲线C z z t x t iy t t : ( ) ( ) ( ), : ( ) ( )     起点  终点 可利用曲线C的参数方程将它转化为 t 的定积分进行计算， 由曲线积分的计算方法我们有： ( )d [ ( )] ( ) (6) C f z z f z t z t dt         ( )d d d d d CC C f z z ux vy i vx uy      积分计算方法2： 利用曲线C的参数方程将它化为定积分计算(直接把参数方程带入） ( ) d '( ) x xt x x t dt   ( ) ( ) ( ) u u x,y v v x,y w f z u iv      ( ) d '( ) y yt y y t dt  

复变函数的积分有许多与微积分中曲线积分相同或相近的性质，4. 和分性质由积分定义可得如下性质：曲线有方向，类似实函数1) Jcf(z)dz =-J f(z)dz的上下限交换，有负号2) [.kf(z)dz=kJ.f(z)dz,(k为常数)3) Jc[f(z)±g(z)]dz = Jc f(z)dz ± Jcg(z)d4）C=C,+C,+..+C,(分段光滑曲线）积分沿曲线的分段可加性Jc f(z)dz = Je +Je, +...+ Jc. f(z)dz5)设有向曲线C的长度为L,函数f(z)在C上满足[f(z)≤M[ f(z)dz≤[lf(z)]ds ≤[Mds = M J ds = ML模估值定理(p74页)((()(两边取极限14

- 14 - 1 2 1 2 4) ( ) () () n n C CC C CC C C f z dz f z dz           分段光滑曲线 5) , ( ) ( ) () () C C CC C L fz C fz M f z dz f z ds Mds M ds ML         设有向曲线 的长度为 函数 在 上满足 4. 积分性质 1) ( ) ( ) C C f z dz f z dz      2) ( ) ( ) ,( ) C C kf z dz k f z dz k    为常数 3) [ ( ) ( )] ( ) ( ) C CC f z g z dz f z dz g z dz     复变函数的积分有许多与微积分 中曲线积分相同或相近的性质， 由积分定义可得如下性质： 1 11 1 () () = () () n nn n kk kk k k k k k kk k f    z fz f z fs            (p74页) 模估值定理 积分沿曲线的 分段可加性 两边取极限 曲线有方向，类似实函数 的上下限交换，有负号

dz2元+试证例（模估值定理）==r (z-i)(z+i)dz证明：即要证≤ML模估值定理=r(z-i)(z+i)即找被积函数的最大值，即要找分母的最小值[(z-i)(2+)= += +1 ≥ -111(z-i)(z+i)z-1dz1+dsn元1-1J==r(z-i)(z+i)-i(z+i)15

- 15 - 例(模估值定理) 即要证 2 2 ( 1) ( )( ) 1 z r dz r r z iz i r        试证  ( )( ) z r dz ML z iz i      模估值定理 2 2 2 ( )( ) 1 1 1 z iz i z z z       2 1 1 *2 zr zr ( )( ) ( )( ) 1 dz ds r ziz i ziz i r              即找被积函数的最大值，即要找分母的最小值 2 1 1 ( )( ) z iz i z 1      证明：