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士士 §24连续型随机变量及其概率密度函数 一、连续型随机变量的概念 定义28设随机变量X的分布函数为F(x),若存在非负可 积函数f(x),使得对于任意实数x,都有 F(x)=」f(x)x (2-15) 则称X为连续型随机变量,称/(X的概率密度函数 ( Probability Density function),简称概率密度或密度 由定义可知,连续型随机变量x的分布函数F(x在x点的函 数值等于其概率密度函数f(在区间(,上的积分 类似于离散型随机变量连续型随机变量/(概率密度 函数具有如下基本性质: 上页
§2.4 连续型随机变量及其概率密度函数 一、连续型随机变量的概念 定义2.8 设随机变量X的分布函数为 ，若存在非负可 积函数 ，使得对于任意实数 ，都有 （2—15） 则称X为连续型随机变量，称 为X的概率密度函数 （Probability Density Function），简称概率密度或密度. 由定义可知，连续型随机变量X的分布函数 在x点的函 数值等于其概率密度函数 在区间 上的积分． 类似于离散型随机变量，连续型随机变量 的概率密度 函数具有如下基本性质： F(x) f (x) x − = x F(x) f (x)dx f (x) F(x) f (x) (− , x f (x)
(1)(非负性)对任意的实数x,f(x0; (2)(规范性)「"fx)x=1 (2-16) 反过来,若已知一个函数f(x满足上述性质(1)和(2,则f(x) 一定是某连续型随机变量X的概率密度函数 另外,对连续型随机变量X的分布,还具有如下性质: 1对于任意实数,x(x1sx),P<Xsx}=F(x)Fx)=∫x)x; 2连续型随机变量X的分布函数(x)是连续的,但反之不真; 3连续型随机变量X取任一确定值的概率为0;即对于任意 工工工 实数xP{X=x}=0; 事实上,由(2-12)和F(x)的连续性即知 P{X=x}=F(x)-F(x-0)=0 因为连续型随机变量取任一确定值是可能的,所以, 上页
（1）（非负性） 对任意的实数 ， ≥0； （2）（规范性） （2—16） 反过来，若已知一个函数 满足上述性质(1)和(2),则 一定是某连续型随机变量X的概率密度函数． 另外，对连续型随机变量X的分布，还具有如下性质： 1.对于任意实数 ( ), ＝ = ； 2.连续型随机变量X的分布函数 是连续的,但反之不真； 3.连续型随机变量X取任一确定值的概率为0；即对于任意 实数 ， = 0； 事实上，由（2－12）和 的连续性即知: 因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以, x f (x) + − f (x)dx =1 f (x) f (x) 1 2 x , x 1 2 x x Px1 X x2 ( ) ( ) 2 1 F x − F x 2 1 ( ) x x f x dx F(x) x PX = x F(x) PX = x = F(x)− F(x − 0) = 0
(1)概率为零的事件未必是不可能事件;概率为1的事件 也不一定是必然事件 2)在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时,可 不必区分是开区间、闭区间还是半开半闭区间,即对任意的 实数xx2(x<x),有 P{<X≤x}=P{x1sX≤x}=P{≤X<x} =Px1<X<x2}=∫fxx (2-17) 这样,如果F(除可数个点外导数处处连续那么在的) 导数连续点处f(x)=而在其它点处氏(x)的值可任意补充 r定义不妨取为0于是可得到X的一个概率密度函数 f(x)= ∫F(x,在F(x的连续点处 0. 在F(x)的不连续点处(2-18) 上页
（1）概率为零的事件未必是不可能事件；概率为1的事件 也不一定是必然事件； （2）在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，可 不必区分是开区间、闭区间还是半开半闭区间， 即对任意的 实数 ，有 ＝ ＝ ＝ ＝ (2—17) 这样，如果 除可数个点外导数处处连续,那么在 的 导数连续点处 ,而在其它点处f(x)的值可任意补充 定义,不妨取为0,于是可得到X的一个概率密度函数 (2－18) ( ) 1 2 1 2 x , x x x Px1 X x2 Px1 X x2 Px1 X x2 Px1 X x2 2 1 ( ) x x f x dx F(x) F(x) f (x) = F(x) = ， 在 的不连续点处 ， 在 的连续点处 0 '( ) '( ) '( ) ( ) F x F x F x f x
王二常见的几种连续型分布 均匀分布 定义29若X的概率密度函数为 x∈(an,b) f(x)= b 0 其它 (2-19) 则称X服从区间(a,b)内的均匀分布( Uniform distribution,记 为X~U(a,b) 均匀分布的特征 (1)若X~U(a,b),则落在(a,b)内任意子区间内的概 上率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关 事实上,对于任意一个长度的子区间(x,x0+1)s(a,b), 上页
二、常见的几种连续型分布 1．均匀分布 定义2.9 若X的概率密度函数为 （2—19） 则称X服从区间(a, b)内的均匀分布(Uniform Distribution),记 为 ～U(a, b)． 均匀分布的特征： （1） 若X～U(a, b), 则落在（a, b）内任意子区间内的概 率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关． 事实上，对于任意一个长度的子区间 , − = 0 其它 ( , ) 1 ( ) x a b b a f x X ( , ) ( , ) x0 x0 + l a b