作乘积f(4)△(=12,)并作和S=∑f(△x, 记=maxx12△x2,…,An},如果不论对a,b 怎样的分法,也不论在小区间x1,2x;上点5怎样 的取法,只要当→0时,和S总趋于确定的极限I, 我们称这个极限I为函数f(x)在区间a,b上的定积分 记为Jmf(x)d==im∑f(5)Ax
怎样的分法， = = b a f (x)dx I i i n i f x = → lim ( ) 1 0 . 也不论在小区间[ , ] xi−1 xi 上 的取法，只要当 → 0时，和S总趋于确定的极限I ， 在区间[a,b]上的定积分， 记为 记 max{ , , , } 1 2 n = x x x ，如果不论对[a,b] 我们称这个极限I 为函数 f (x) 作乘积 i xi f ( ) (i = 1,2, ) 点 i怎样 并作和 i i n i S = f x = ( ) 1
3、可积条件 可积的充分条件: 定理1当函数f(x)在区间a,b上连续时 称f(x)在区间a,b上可积 定理2设函数f(x)在区间a,b上有界, 且只有有限个间断点,则f(x)在区间 a2b上可积 定理3若f(x)是区间ab上的单调函数,则 f(x)在a,b]上可积
可积的充分条件： 定理 1 当函数 f (x)在区间[a,b]上连续时， 定理 2 设函数 f (x)在区间[a,b]上有界， 称 f (x)在区间[a,b]上可积. 且只有有限个间断点，则f (x) 在区间 [a,b]上可积. 3、可积条件 定理 3 若 f (x) 是区间[a,b]上的单调函数，则 f (x)在[a,b]上可积
Riemann可积的第一充要条件 f(x)在[ab]上 Riemann可积 "f(x)x=lmn2MA=1mn∑mAx=广f(x 其中
Riemann可积的第一充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 i n i i T b a f x dx = M x = → 1 || || 0 ( ) lim m x f x dx b a i n i i T lim ( ) 1 || || 0 = = = → 1 1 sup{ ( ) : } inf{ ( ) : } i i i i i i M f x x x x m f x x x x − − = = 其中： xi-1 xi xi-1 xi
Riemann可积的 其中: f(x)在[ab]上 Riemann可积 V>0.3分划,使得∑OA≤E i=1
Riemann可积的第二充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 = i n i i T x 1 0, 分划 ，使得 1 1 sup{ ( ) : } inf{ ( ) : } i i i i i i i i i M f x x x x m f x x x x M m − − = = = − 其中： xi-1 xi