第四章实数的完备性 4.2闭区间上连续函数性质的证明
第四章 实数的完备性 4.2 闭区间上连续函数性质的证明
有界性定理 若函数f在闭区间[a,b上连续,则∫在[a,b]上有界 证明:(应用有限覆盖定理证明) 由连续函数的局部有界性, x∈[a,b],3U(x;,),丑M>0使得 (x)≤Mx∈U(x:6)[a,61 考虑开区间集H={(x:6,)x∈[ab 显然H是a,b的一个无限开覆盖,由有限覆盖定理, 存在的一个有限子集H={(x:0)x∈[ab](=12,…,k
一 有界性定理 若函数 f 在闭区间 [a,b] 上连续,则 f 在 [a,b] 上有界. 证明: 由连续函数的局部有界性， x ' [a,b],U(x ' ; x ' ),M x ' 0使得 ( ) ' ( ; ' ) [ , ]. ' f x M x U x a b x x { ( ; ) [ , ]}, ' ' H U x ' x a b x 考虑开区间集 = 显然H是[a,b]的一个无限开覆盖， 由有限覆盖定理， H H {U(x ; ) x [a,b],i 1,2, , k} 存在 的一个有限子集 = i i i = (应用有限覆盖定理证明)
覆盖了a,b1且存在正数M1,M2…Mx,使得 x∈U(x2)⌒[a,b1有f(x)≤Mi=1,2…k 令M=maxM 则x∈a,b]x必属于某U(x;0)→f(x)≤M≤M 从而在[a,b上有界 最大最小值定理 若函数f在闭区间[a,b上连续,则∫在[a,b]上有最大值和最小值 证明(应用确界原理证明) 由于已证得ab上有界故由确界原理f(a,b])有上确界, 记为M
x U(x ; ) [a,b]. f (x) M i 1,2, , k. i i 有 i = i i k M M = 1 令 max x [a,b], x U(x ; ) f (x) M M. 则 必属于某 i i i 从而f在[a,b]上有界. 二 最大最小值定理 若函数 f 在闭区间 [a,b] 上连续,则 f 在 [a,b] 上有最大值和最小值. 证明: 覆盖了[a,b]， 且存在正数M1 ,M2 , ,MK ,使得 (应用确界原理证明) 由于已证得f在[a,b]上有界.故由确界原理, f ([a,b])有上确界， 记为M
以下证明:三∈[ab使f(=)=M 假设vx∈[a,b都有f(x)<M,令 g(x) x∈|a M-f( 则g(x)在a,b]上连续,故g(x)在[a,b上有界,设G是g的一个上界 则0<g(x G,x∈[a,b] M-f(x) 从而推得f(x)≤M x∈a2 b] 这与Mf(a,b的上确界(最小上界)相矛盾 所以必三∈[a,b]使f(2)=M即a,b上有最大值 同理可证fa,b上有最小值
以下证明: [a,b],使f () = M. 假设x[a,b] 都有f (x) M,令 , [ , ]. ( ) 1 ( ) x a b M f x g x − = 则g(x)在[a,b]上连续， 故g(x)在[a,b]上有界， 设G是g的一个上界， , [ , ]. ( ) 1 0 ( ) G x a b M f x g x − 则 = , [ , ]. 1 ( ) x a b G 从而推得 f x M − 这与M为f ([a,b])的上确界(最小上界)相矛盾. 所以必 [a,b],使f () = M.即f在[a,b]上有最大值. 同理可证f在[a,b]上有最小值
三介值性定理 设函数f在闭区间a,b上连续,且f(a)≠f(b),若为介于 f(a)和f(b)之间任何实数,则存在x0∈(a2b),使得f(x0)=4 证明(应用区间套定理证明 不妨设f(a)<<f(b)令g(x)=f(x)-1 则g是[a,b上的连续函数,且g(a)<0,g(b)>0 即证x0∈(a,b)使得g(x)=0(根的存在性定理) 将ab等分为两个子区间aqc,b若g(c)=0,则c即为所求 若g(c)≠0.则当g()>O时[a12b]=[a,cl 当g(c)<O时记a1b]=[c,b
三 介值性定理 设函数 在闭区间 上连续,且 ,若 为介于 和 之间任何实数, 则存在 , 使得 . f f (x0 ) = [a,b] ( , ) x0 a b f (a) f (b) f (a) f (b) 证明: (应用区间套定理证明) 不妨设f (a) f (b),令g(x) = f (x) −, 则g是[a,b]上的连续函数， 且g(a) 0, g(b) 0 ( , ), ( ) 0 ( ). 即证 x0 a b 使得g x0 = 根的存在性定理 将[a,b]等分为两个子区间[a,c]与[c,b]， 若g(c) = 0,则c即为所求; 若g(c) 0,则当g(c) 0时记[a1 ,b1 ] =[a,c]， 当g(c) 0时记[a1 ,b1 ] =[c,b]