第四章实数的完备性 4.1关于实数完备性的基本定理
第四章 实数的完备性 4.1 关于实数完备性的基本定理
区间套定 定义 设闭区间列{a,b1惧有如下性质 1[a,b]→[a,b],n=1 (2)lim(b-a)=0 则称{a,b防闭区间套简称区间套 注意 定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个即闭 区间的端点满足不等式 ≤a≤…≤a≤…≤b≤…<b≤b
注意: •定义 定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即闭 区间的端点满足不等式: 设闭区间列 {[ , ]}具有如下性质 : n n a b ( ) [ , ] [ , ], 1,2, ; 1 1 = L + + 1 a b a b n n n n n ( ) lim( - ) = 0, → n n n 2 b a 则称{[ , ]}为闭区间套,简称区间套. n n a b . 1 2 2 1 a a a b b b n n L L L 一 区间套定理
●定理的证明 由区间套定义知递增有界数列 依单调有界定理洧极限,且有a≤5,n=12 同理,递减有界数列b池有极限,并按区间套的条件(2)有 inb=lima=5,且b≥5,n=1,2, -)0 n 从而有a≤5≤b,n=1 下面证明满足题设条件的是唯一的 设也满足a≤5≤b,n=1,2
•定理的证明 {a } ， n 由区间套定义知 为递增有界数列 ，{a } ， n 依单调有界定理 有极限x a ，n =1,2,L. n 且有 x 同理，递减有界数列{b }也有极限，并按区间套的条件(2)有 n lim = lim = x , → → n n n n b a b ，n =1,2,L. n 且 x a b ，n =1,2,L. n n 从而有 x 下面证明满足题设条件的x是唯一的. ' a ' b ,n =1,2,L, n n 设x 也满足 x
则5-5≤b-a,n=1,2 由区间套定义(in)得 则9-引≤lim(b-a)=0, 故有=2 证毕 若∈[a,b1(n=12.)是闭区间套{anb所确定的点,则 VE>0,N∈N,Vm>N,有[anbn]cU(2,E) 注意: 区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立
- ' b - a ,n =1,2,L. n n 则x x 由区间套定义(ii)得 - ' lim( - ) = 0, → n n n 则x x b a 故有 x = x '. 证毕. •推论 若x [a,b](n =1,2,)是闭区间套{[an ,bn ]} 所确定的点， 则 0, N N , n N, [a ,b ] U(x; ). + 有 n n 注意: 区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立
二聚点定理 定义 设S为数轴上的点集,5为定点,(它可以属于S,也可以不属于S 若ξ的任何邻域内都含有S中无穷多个点,则称2为S的聚点 聚点概念和下面两个定义等价 对于点集S,若点的任何邻域都含有S中异于 的点即U(.8)S≠则称为S的聚点 若存在各项互异的收敛数{xn}S则其极限 imxn=5称为S的聚点 n→00
二 聚点定理 •定义 设 S 为数轴上的点集, x 为定点,(它可以属于 S ,也可以不属于 S 若 x 的任何邻域内都含有 S 中无穷多个点,则称 x 为 S 的聚点. 注意: 聚点概念和下面两个定义等价: 对于点集 , 若点 的任何 邻域都含有 中异于 的点,即 ,则称 为 S 的聚点. S x S x x U S ( ; ) , x 若存在各项互异的收敛数 ,则其极限 称为 的聚点. {xn } S = x → n n lim x S