sin( x'y)x"ysin(y)limlim解x'y31x+y?x2+ y?33:xyu=sin( x'y)sin u其中 limlim1.x'y$3:1→0ux"y[x'yI x I→0→0，<2xyx2+?2sin(x'y).. lim0-x"+y$38小结：本节在一元函数的基础上，讨论多元函数的基本概念。讨论中我们以二元函数为主，针对二元函数的极限及连续予以重点介绍。从二元函数到二元以上的多元函数则可以类推。作业：1. 已知函数f(x,)=x+y-xytan=,试求f(x,).y2.试证函数F(x,y)=lnx·lny满足关系式F(xy,uv)= F(x,u)+ F(x,v)+ F(y,u)+ F(y,v)3.已知函数f(u,v,w)=u"+wu+，试求f(x+y,x-y,xy)4：求下列各函数的定义域：11(1)z=ln(y?x +1);(2) z:Vx+y/x-1Vx(3) z=/x-/y:(4) z = ln(y-x)+/1- x?-y21(5) u=/R?-x2-y2-22(R>r>0);Vx2+y2 +22-r2Z（6）u=arccosVx2 + y25.求下列各极限：
解 = + → → 2 2 2 0 0 sin( ) lim x y x y y x 其中 x y x y y x 2 2 0 0 sin( ) lim → → u u u sin lim→ 0 = 1 , 2 2 2 x y x y + 0 , ⎯ x ⎯ → → ⎯0 0 . sin( ) lim 2 2 2 0 0 = + ∴ → → x y x y y x u x y 2 = 2 | | 2 2 x xy x y ≤ = x y x y y x 2 2 0 0 sin( ) lim → → , 2 2 2 x y x y + ⋅ 小结：本节在一元函数的基础上，讨论多元函数的基本概念。讨论中我们以二元函数为主， 针对二元函数的极限及连续予以重点介绍。从二元函数到二元以上的多元函数则可 以类推。 作业： １．已知函数 y x f (x, y) = x + y − xy tan ,试求 f (tx,ty)． ２．试证函数 F(x, y) = ln x ⋅ln y 满足关系式 F(xy,uv) = F(x,u) + F(x,v) + F( y,u) + F( y,v) . ３．已知函数 w u v f u v w u w + ( , , ) = + ，试求 f (x + y, x − y, xy) . ４．求下列各函数的定义域： （１） z = ln (y?x +1) ; （２） x y x y z − + + = 1 1 ; （３） z = x − y ； （４） 2 2 1 ln( ) x y x z y x − − = − + ； （５）ｕ＝ 2 2 2 2 R − x − y − z ＋ 2 2 2 2 1 x + y + z − r （ R > r > 0 ）； （６） 2 2 arccos x y z u + = ． ５．求下列各极限：
In(x+e")1- xylim-(2)lim(1)x+y0 /x2 + y22-/xy+4xylim(3)lim(4)-:xy38 /xy+1-15381-cos(x2 + y)sin(xy)lim(5)(6)lim(x? +y°)eryJ330330 (6，证明下列极限不存在：xy?(1)lim#+y（2）lim8 xy* +(x-y)338x-yy2+2x7.函数z=在何处是间断的？y2-2xxy=0.8．证明1lim8/+y2
（１） 2 2 1 0 1 lim x y xy y x + − → → ； （２） 2 2 0 1 ln( ) lim x y x e y y x + + → → ； （３） xy xy y x 2 4 lim 0 0 − + → → ； （４） 1 1 lim 0 0 → + − → xy xy y x ； （５） y xy y x sin( ) lim 0 2 → → ； （６） 2 2 ( ) 1 cos( ) lim 2 2 2 2 0 0 x y y x x y e x y + − + → → ． ６．证明下列极限不存在： （１） x y x y y x − + → →0 0 lim ； （２） 2 2 2 2 2 0 0 ( ) lim x y x y x y y x + − → → ． ７．函数 y x y x z 2 2 2 2 − + = 在何处是间断的？ ８．证明 lim 0 2 2 0 0 = → + → x y xy y x ．
第八章多元函数微分法及其应用第二节：偏导数教学目的：学习偏导数的定义，学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。教学重点：偏导数的定义，判断二元函数偏导数的存在性，计算二元、多元函数的偏导数。教学难点：判断二元函数偏导数的存在性，计算多元函数的偏导数。教学内容：第二节偏导数一、导数的定义及其计算法在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念。对于多元函数同样需要讨论它的变化率。但多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多。在这一节里，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率。以二元函数z=f(x,y)为例，如果只有自变量x变化，而自变量y固定（即看作常量），这时它就是x的一元函数，这函数对x的导数，就称为二元函数=对于x的偏导数，即有如下定义：定义设函数z=f（x,y)在点(xoyo)的某一邻域内有定义，当y固定在y而x在x。处有增量△x时，相应地函数有增量f(xo+Ax,yo)-f(xo,yo),f(xo +Ax,yo)- f(xo,yo)lim如果(1)Ar存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(xo,yo)处对x的偏导数，记作azf，2X0或f,(xo,yo)0axlryeyoOxi例如，极限（1）可以表示为f(xo + Ax, yo)- f(xo, yo)7f.(xo,J0)= lim(2) Ar
第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 二 节：偏导数 教学目的：学习偏导数的定义，学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。 教学重点：偏导数的定义，判断二元函数偏导数的存在性，计算二元、多元函数 的偏导数。 教学难点：判断二元函数偏导数的存在性，计算多元函数的偏导数。 教学内容： 第二节 偏 导 数 一、 导数的定义及其计算法 在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念。对于多元函数同样需要 讨论它的变化率。但多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂 得多。在这一节里，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率。以二元函数 z = f (x, y) 为例，如果只有自变量 x 变化，而自变量 y 固定（即看作常量），这时它就是 x 的一元函数，这函数对 x 的导数，就称为二元函数 z 对于 x 的偏导数，即有如下定义： 定义 设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的某一邻域内有定义，当 y 固定在 0 y 而 x 在 0 x 处有增量 Δx 时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + Δx y − f x y , 如果 0 lim Δx→ x f x x y f x y Δ ( + Δ , ) − ( , ) 0 0 0 0 (1) 存在，则称此极限为函数 z = f (x, y) 在点( , ) 0 0 x y 处对 x 的偏导数，记作 0 0 y y x x x z = ∂ = ∂ , 0 0 y y x x x f = ∂ = ∂ , 0 0 y y x x x z = = 或 x f ( , ) 0 0 x y 例如，极限（1）可以表示为 0 0 0 ( , ) lim Δ → = x x f x y x f x x y f x y Δ ( + Δ , ) − ( , ) 0 0 0 0 . (2)
类似地，函数z=f(x,y)在点(xo,y)处对y的偏导数定义为f(xo, Yo + Ay)- f(xo, yo)lim(3)AyAy→(azaf记作或f, (xo,yo)-ayr=xOyr==V.如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数，记作%，%，=，或f.(x)axax"类似地，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数，记作af.%“，或J,(x,y)ay'由偏导数的概念可知，f（x,y)在点处对(xo,y）处对x的偏导数f.（xo,）显然就是偏导函数J.(x,y)在点(xo,y)处的函数值；J(xo,yo)就是偏导函数f,(x,y)在点(xo，yo）处的函数值。就象一元函数的导函数一样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数。至于实际求z=f(x,y)的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在来变动，另一个自变量是看作固定的，所以仍就是一元函数的微分法问题。求时，只要ax%时，则只要把x暂时看作常量而对y求导数。把y暂时看作常量而对x求导数；求ay偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数。例如三元函数u=f（x,y,=）在点（x,y,=）处对x的偏导数定义为f(xo +Ax, y,z)-f(x, y,z)fr(x,y,z)= limAxAAr-8其中（x,y,=)是函数u=f(x,y,=)的定义域的内点。它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题
类似地，函数 z = f (x, y) 在点( , ) 0 0 x y 处对 y 的偏导数定义为 0 lim Δy→ y f x y y f x y Δ ( , + Δ ) − ( , ) 0 0 0 0 (3) 记作 0 0 y y y x x z = ∂ = ∂ , 0 0 y y y x x f = ∂ = ∂ , 0 0 y y x x y z = = 或 y f ( , ) 0 0 x y 如果函数 z = f (x, y) 在区域 D 内每一点(x, y)处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导 数就是 x、y 的函数，它就称为函数 z = f (x, y) 对自变量 y 的偏导数，记作 x z ∂ ∂ , x f ∂ ∂ , x z 或 x f (x, y) 类似地，可以定义函数 z = f (x, y) 对自变量 y 的偏导数，记作 y z ∂ ∂ , y f ∂ ∂ , y z 或 y f (x, y) 由偏导数的概念可知， f (x, y)在点处对( , ) 0 0 x y 处对 x 的偏导数 x f ( , ) 0 0 x y 显然就是 偏导函数 x f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处的函数值； y f ( , ) 0 0 x y 就是偏导函数 y f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处的函数值。就象一元函数的导函数一样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数 简称为偏导数。 至于实际求 z = f (x, y) 的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在 变动，另一个自变量是看作固定的，所以仍就是一元函数的微分法问题。求 x f ∂ ∂ 时，只要 把 y 暂时看作常量而对 x 求导数；求 y f ∂ ∂ 时，则只要把 x 暂时看作常量而对 y 求导数。 偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数。例如三元函数 u = f ( x, y,z ) 在点 ( x, y,z) 处对 x 的偏导数定义为 x f x x y z f x y z f x y z x x Δ + Δ − = Δ → ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 0 lim 其中 ( x, y,z)是函数 u = f (x, y,z) 的定义域的内点。它们的求法也仍旧是一元函数的微分 法问题。 △x→0
例1求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数。解把y看作常量，得%=2x+3yax把x看作常量，得= =3x+2yay将（1,2)代入上面的结果，就得= =2·1+3·2=8,Ox/y2[ = 3·1+2·2 =7y/2例2求z=sin2y的偏导数。O= | =Oz三==2x?cos2y=2xsin2y,解ax/y=2Oy/3=2例3设z=x(x>0，x±1),求证：x Oz10z=22y ax Inx yOzOz= Jyx-I=x"Inx,证因为axay1+10XOzE_x-1+所以-x"lnx=x"+x=22y axInx dy yInx例44求r=/x?+y?+2?的偏导数。解把和z都看作常量，得orx=oxx*+y*+2r由于所给函数关于自变量的对称性，所以or_yor_22ozrdy r心
例 1 求 2 2 z = x + 3xy + y 在点(1, 2)处的偏导数。 解 把 y 看作常量，得 x y x z = 2 + 3 ∂ ∂ 把 x 看作常量，得 x y y z = 3 + 2 ∂ ∂ 将 (1, 2)代入上面的结果，就得 2 1 3 2 8 1 2 = ⋅ + ⋅ = ∂ ∂ = = x y x z ， 3 1 2 2 7 1 2 = ⋅ + ⋅ = ∂ ∂ = = x y y z 例2 求 z = sin 2y 的偏导数。 解 x y x z x y 2 sin 2 1 2 = ∂ ∂ = = , x y y z x y 2 cos 2 1 2 2 = ∂ ∂ = = 例 3 设 z = x (x > 0 x ≠ 1) y ， ,求证： x z y x ∂ ∂ + ln x 1 z y z = 2 ∂ ∂ 证 因为 −1 = ∂ ∂ y yx x z , x x y z y = ln ∂ ∂ , 所以 y x x z ∂ ∂ + ln x 1 y z ∂ ∂ = y−1 yx y x + x x x x z x y y y ln 2 ln 1 = + = 例 4 求 2 2 2 r = x + y + z 的偏导数。 解 把 y 和 z 都看作常量，得 x r ∂ ∂ = 2 2 2 x y z x + + = r x 由于所给函数关于自变量的对称性，所以 y r ∂ ∂ = r y , z r ∂ ∂ = r z