《高等数学》课程授课教案（讲义）第八章 多元函数微分法及其应用

例5已知理想气体的状态方程pV=RT（R为常量），求证：op.av.aT.=-1avaTopRT op=-RT1证因为p=V;avavV_RT_RaT"ppaT_yT=PVop"RRRT.R.V--!op. a.aT--RT所以-1V2'RavTppVdy可看作函数的微分dy与自变量的微分dx之商。而上我们知道，对一元函数来说，dx式表明，偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子与分母之商。二元函数z=f(x,y)在点（xo,yo）的偏导数有下述几何意义。设M。(xo,o,f(xo,y))为曲面z=f(x,y)上的一点，过M。作平面y=yo，截此曲面得一曲线，此曲线在平面y=上的方程为≥=(x,y。），则导数兴f(x,yo)lx=x，即dx偏导数f.(xo，y),就是这曲线在点M。处的切线M。T，对x轴的斜率（见图8-6)。同样，偏导数f,（xo.y）的几何意义是曲面被平面x=x。所截得的曲线在点M。处的切线M。T,对J轴的斜率。我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续。但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P。时，函数值f(P）趋于f(P）,但不能保证点P按任何方式趋于P。时，函数值(P)都趋于f(P。）。例如，函数[xy?+y+0,x+y2,z= f(x,y)=/x[0,x2 + y2 = 0,在点（0，0）对x的偏导数为

例 5 已知理想气体的状态方程 pV = RT ( R 为常量) ，求证： V p ∂ ∂ · T V ∂ ∂ · p T ∂ ∂ =－1. 证 因为 V RT p = , V p ∂ ∂ =－ 2 V RT ; p RT V = , T V ∂ ∂ = p R ; R pV T = , p T ∂ ∂ = R V ; 所以 V p ∂ ∂ · T V ∂ ∂ · p T ∂ ∂ =－ 2 V RT · p R · R V =－ pV RT =－1. 我们知道，对一元函数来说， dx dy 可看作函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商。而上 式表明，偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子与分母之商。 二元函数 z = f (x, y) 在点( , ) 0 0 x y 的偏导数有下述几何意义。 设 ( , , ( , )) 0 0 0 0 0 M x y f x y 为曲面 z = f (x, y) 上的一点，过 M 0 作平面 0 y = y ，截此曲 面得一曲线，此曲线在平面 0 y = y 上的方程为 ( , ) 0 z = f x y ，则导数 0 ( , ) | 0 x x f x y dx d = , 即 偏导数 ( , ) 0 0 f x y x ,就是这曲线在点 M 0 处的切线 M 0Tx 对 x 轴的斜率（见图 8-6）。同样，偏 导数 ( , ) 0 0 f x y y 的几何意义是曲面被平面 0 x = x 所截得的曲线在点 M 0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的斜率。 我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续。但对于多元函 数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在 只能保证点 P 沿着平行于坐标轴的方向趋于 P0 时，函数值 f (P) 趋于 ( ) P0 f ,但不能保证点 P 按任何方式趋于 P0 时，函数值 f (P) 都趋于 ( ) P0 f 。例如，函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = = + 0, 0, , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy z f x y 在点（0，0）对 x 的偏导数为

f(0 + Ar,0) - f(0,0) = 0f.(0,0) = limAxAr-→0同样有(0,0 +Ay)- f(0.0) = 0f,(0,0) = limAyAy→0但是我们在第一节中已经知道这函数在点（0，0）并不连续。高阶偏导数二、设函数z=f(x,Jy)在区域D内具有偏导数= f.(x, ),= f,(x,y),axay那么在D内f,(x,y)、f,(x,J)都是x，y的函数。如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：α (0z)0?za (αz)z-= fu(x,y)= fu(x,y) ,ax(ax)axay(ax)axoya(α)a?z2(=)-02= fu(x,y)= ,(x,y)1ay(ay)ay?ax(ay)ayox其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。0°2来a?z"=a3z及例6设z=xy2-3xy3-xy+1，ar.ar?Oy?ayaxaxdy = 2xy-9xy2 -x;= = 3x*y2 -3y3 - y,解axaya2za?z= 6xy2= 6x2y-9y?-1;ax2ayaxa?2a== = 6xy-9y2-1 ,=18x2-18xy;axoyay2a'z=6 yax3

0 (0 ,0) (0,0) (0,0) lim 0 = Δ + Δ − = Δ → x f x f f x x 同样有 0 (0,0 ) (0,0) (0,0) lim 0 = Δ + Δ − = Δ → y f y f f y y 但是我们在第一节中已经知道这函数在点（0，0）并不连续。 二、 高阶偏导数 设函数 z = f (x, y) 在区域 D 内具有偏导数 f (x, y) x z = x ∂ ∂ , f (x, y) y z = y ∂ ∂ , 那么在 D 内 f (x, y) x 、 f (x, y) y 都是 x，y 的函数。如果这两个函数的偏导数也存在，则 称它们是函数 z = f (x, y) 的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导 数： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ x z x = ( , ) 2 2 f x y x z = xx ∂ ∂ , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ x z y = ( , ) 2 f x y x y z = xy ∂ ∂ ∂ , ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ y z x = ( , ) 2 f x y y x z = yx ∂ ∂ ∂ , ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ y z y = ( , ) 2 2 f x y y z = yy ∂ ∂ 其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。同样可得三阶、四阶、以及 n 阶偏导数。二阶及二 阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。 例 6 设 3 1 3 2 3 z = x y − xy − xy + ，求 2 2 x z ∂ ∂ 、 y x z ∂ ∂ ∂ 2 、 x y z ∂ ∂ ∂ 2 、 2 2 y z ∂ ∂ 及 3 3 x z ∂ ∂ 。 解 x z ∂ ∂ = x y − y − y 2 2 3 3 3 , y z ∂ ∂ = x y − xy − x 3 2 2 9 ； 2 2 x z ∂ ∂ = 2 6xy , y x z ∂ ∂ ∂ 2 = 6 9 1 2 2 x y − y − ； x y z ∂ ∂ ∂ 2 = 6 9 1 2 2 x y − y − , 2 2 y z ∂ ∂ = 18x 18xy 2 − ； 3 3 x z ∂ ∂ = 6 y

x'y当(x,y)(0,0)+y2例7. 设()=0当(x,y)=(0,0)求f(0,0)和(0,0)解：当(x,y)≠(0,0)时，有2xy3xy(x +y")-xy-2x3x2yJ(x,y)=3(x* + y2)(x+y)x?+y?x32xy2f(x,y)=+y(x?+y)?当(x,y)=(0,0)时，有0f(0+ Ax,0)- f(0,0)f(0,0) = lim =0TimAxAr-→0 Ax0f(0+Ay,0)- f(0,0)f,(0,0)= lim lim=0AyAy-→0Ay-0 Ay(0,0+Ay)-f(0,0)-0f(0,0) = limAy->(Ayf,(0+△x,0)- f,(0,0)fs(0, 0) = limArAT02-0=我们看到例6中两个二阶混合偏导数相等，即一这不是偶然的。但在例7Oyaxaxoy中二者不想等。事实上，我们有下述定理。?2a2z及在区域D内连续，定理如果函数z=F(x,J）的两个二阶混合偏导数axoyayax那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。这定理的证明从略。对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数。而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。例7验证函数z=lnx2+y2满足方程

例 7．设 3 2 2 ( ) (0,0) (, ) 0 ( ) (0,0) x y x, y f xy x y x, y ⎧ ⎪ ≠ = ⎨ + ⎪ ⎩ = 当 当 。 求 (0,0) (0,0). xy yx f f 和 解：当( , ) (0,0) x y ≠ 时，有 222 3 2 4 2 22 2 2 2 22 3( ) 2 3 2 (, ) () () x x yx y xy x xy xy f xy x y xy xy + − = =− + ++ i 3 32 2 2 2 22 2 (, ) ( ) x x x y f xy x y xy = − + + 当( , ) (0,0) x y = 时，有 0 0 (0 ,0) (0,0) 0 (0,0) lim lim 0 x x x f xf f Δ→ Δ→ x x + Δ − = == Δ Δ 0 0 (0 ,0) (0,0) 0 (0,0) lim lim 0 y y y f yf f Δ→ Δ→ y y + Δ − = == Δ Δ 0 (0,0 ) (0,0) (0,0) lim 0 x x xy y f yf f Δ → y + Δ − = = Δ 0 (0 ,0) (0,0) (0,0) lim 1 y y yx x f xf f Δ → x + Δ − = = Δ 我们看到例 6 中两个二阶混合偏导数相等，即 y x z ∂ ∂ ∂ 2 = x y z ∂ ∂ ∂ 2 这不是偶然的。但在例 7 中二者不想等。事实上，我们有下述定理。 定理 如果函数 z = f (x, y) 的两个二阶混合偏导数 y x z ∂ ∂ ∂ 2 及 x y z ∂ ∂ ∂ 2 在区域 D 内连续， 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。 换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。这定理的证明从略。 对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数。而且高阶混合偏导数在偏导 数连续的条件下也与求导的次序无关。 例7 验证函数 2 2 z = ln x + y 满足方程

02z02=0。ax?ay2证因为z=lnx2+y?==In(x? + y),2azOzxy所以axx+y?oyx+y?,y?-x?0?2(x2 +y2)-x.2xax?(x +y)?(2 +y2)a2=_ (x? + y2)- y.2y _x? -y2ay2(x* +y)(r +y2)0'2,0zy2 -x2x2 - y2因此(c2 + y2)ax?ay?(x2 + y2)28证明函数u=,满足方程例8r'u o'u o'u-0022ax2Oy2其中r=x2+y2+22ou_-1 or_1X_x证r23axr2axrau--1,3x1,3x2Or3+A13ar?r3ax由于函数关于自变量的对称性，所以au1,3y2a'u--1,3225,13130z2r5ay?auauau因此axoy??3,3r233(x2 + y2 +2)=01313r5r3例7和例8中两个方程都叫做拉普拉斯(Laplace)方程，它是数学物理方程中一种很重要的方程。例9.验证函数z=sin(x-ay）)满足波动方程：

2 2 x z ∂ ∂ + 2 2 y z ∂ ∂ =0 。 证 因为 ln( ) 2 1 ln 2 2 2 2 z = x + y = x + y , 所以 x z ∂ ∂ = 2 2 x y x + , y z ∂ ∂ = 2 2 x y y + , 2 2 x z ∂ ∂ = 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 x y x y x x + + − • = ( )2 2 2 2 2 x y y x + − , 2 2 y z ∂ ∂ = 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 x y x y y y + + − • = ( )2 2 2 2 2 x y x y + − 因此 2 2 x z ∂ ∂ + 2 2 y z ∂ ∂ = ( )2 2 2 2 2 x y y x + − + ( )2 2 2 2 2 x y x y + − =0. 例 8 证明函数 r u 1 = ，满足方程 2 2 x u ∂ ∂ + 2 2 y u ∂ ∂ + 2 2 z u ∂ ∂ =0 , 其中 2 2 2 r = x + y + z . 证 x u ∂ ∂ =－ 2 1 r x r ∂ ∂ =－ 2 1 r · r x =－ 3 r x , 2 2 x u ∂ ∂ =－ 3 1 r + 4 3 r x · x r ∂ ∂ =－ 3 1 r + 5 2 3 r x . 由于函数关于自变量的对称性，所以 2 2 y u ∂ ∂ =－ 3 1 r + 5 2 3 r y , 2 2 z u ∂ ∂ =－ 3 1 r + 5 2 3 r z . 因此 2 2 x u ∂ ∂ + 2 2 y u ∂ ∂ + 2 2 z u ∂ ∂ =－ 3 3 r + 5 2 2 2 3( ) r x + y + z =－ 3 3 r + 5 2 3 r r =0. 例 7 和例 8 中两个方程都叫做拉普拉斯(Laplace)方程，它是数学物理方程中一种很重要 的方程。 例 9．验证函数 z = − sin( ) x ay 满足波动方程：

az2022ax2ay?a2zO证明：因为= cos(x - ay),sin(x - ay):ax?axa22Oz-acos(x-ay),-a sin(x-ay)ay?Oy=ao故,ax2y?小结：本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数（以二元函数为重点）偏导数的定义及存在条件和求法，这是多元函数微分学的基础。作业：1：求下列函数的偏导数u+y?(1) z=xy-y'x:(2) S=uv(3) z= /ln(xy) :(4) z = sin(xy)+cos(xy) ;(5)≥=Intan=(6) z=(1+xy)";yY(7)u=x";(8)u=arctan(x-y)"。1aTOT求证1 1=0。2.设T=2元+galogVg-(4-)，求证2+v20二=229r3.设z=eaxay区,求f.(x,1).4. 设f(x,y)=x+(y-1)aresin,Vyx? + y?25.曲线在点（2，4，5）处的切线对于x轴的倾角是多少？4y=4a=0z0z6.求下列函数的axay'axdy

2 2 2 2 2 z z a y x ∂ ∂ = ∂ ∂ 证明：因为 2 2 cos( ), sin( ); z z x ay x ay x x ∂ ∂ = − =− − ∂ ∂ 2 2 2 ( ), sin( ), z z acos x ay a x ay y y ∂ ∂ =− − =− − ∂ ∂ 故, 2 2 2 2 2 z z a y x ∂ ∂ = ∂ ∂ 小结：本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数（以二元函数为重点） 偏导数的定义及存在条件和求法，这是多元函数微分学的基础。 作业： １．求下列函数的偏导数： （１） z x y y x 3 3 = − ； （２） uv u v s 2 2 + = ； （３） z = ln(xy) ； （４） sin( ) cos ( ) 2 z = xy + xy ； （５） y x z = ln tan ； （６） y z = (1+ xy) ； （７） z y u = x ； （８） z u = arctan(x − y) 。 ２．设 g l T = 2π ，求证ｌ = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ g T g l T l 。 ３．设 ) 1 1 ( x y z e − + = ，求证 z y z y x z x 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 ４．设 y x f (x, y) = x + ( y −1)aresin ，求 f (x,1) x ． ５．曲线 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 4 , 4 2 2 y x y z 在点（２，４，５）处的切线对于 x 轴的倾角是多少？ ６．求下列函数的 2 2 x z ∂ ∂ ， 2 2 y z ∂ ∂ ， x y z ∂ ∂ ∂ 2 ：