《高等数学》课程授课教案（讲义）第八章 多元函数微分法及其应用

三、多元函数的极限我们先讨论二元函数z=f(x,y)当x→x，→yo，即P(x,y)→P(xo,yo)时的极限。这里P一→>P。表示点P以任何方式趋于点P，也就是点P与点P。间的距离趋于零，即PP=(x-x)+(y-y)→0。与一元函数的极限概念类似，如果在P(x,J)→P(xo,Jo）的过程中，对应的函数值f(x,y)无限接近一个确定的常数A，我们就说A是函数x→xo，→y时的极限。下面用“-”语言描述这个极限概念。定义2设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P(xo,yo）是D的内点或边界点。如果对于任意给定的正数ε，总存在正数，使得对于适合不等式0<PP=/(x-xo) +(-)< 的一切点P(x,)D,都有(x,)-A< 成立，则称常数A为函数f(x,y)当x→xo，→y时的极限，记作lim f(x,y)= A,或 f(x,y)→A (p→0), 这里 p=PPl。为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。1(x*+y2+0),例4 设f(x,y)=(x2+y)sinx? + y?求证limf(x,y)=0。-O因为+y)sin+-证≤x2 +1，可见x?+y?T对任给>0，取=，则当0(x-0)+(y-0)2时，总有x?+y2)sin<8成立x+y所以lim f(x,y) = 0我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P(x,y)以任何方式趋于P(x,y)时，函数都

三、多元函数的极限 我们先讨论二元函数 z = f (x, y) 当 0 x → x ， 0 y → y ，即 ( , ) ( , ) 0 0 0 P x y → P x y 时的 极限。 这里 P → P0 表示点 P 以任何方式趋于点 P0 ，也就是点 P 与点 P0 间的距离趋于零， 即 ( ) ( ) 0 2 0 2 PP0 = x − x0 + y − y → 。 与一元函数的极限概念类似，如果在 ( , ) ( , ) 0 0 0 P x y → P x y 的过程中，对应的函数值 f (x, y) 无限接近一个确定的常数 A ，我们就说 A 是函数 0 x → x ， 0 y → y 时的极限。下面 用“ε − δ ”语言描述这个极限概念。 定义 2 设函数 f (x, y) 在开区域（或闭区域）D 内有定义， ( , ) 0 0 0 P x y 是 D 的内点或 边界点。如果对于任意给定的正数 ε ，总存在正数 δ ，使得对于适合不等式 < = − + − < δ 2 0 2 0 0 0 PP (x x ) ( y y ) 的一切点 P(x, y) ∈ D ，都有 f (x, y) − A < ε 成 立，则称常数 A 为函数 f (x, y) 当 0 x → x ， 0 y → y 时的极限，记作 f x y A x x = → lim ( , ) 0 ， 或 f (x, y) → A （ ρ → 0），这里 ρ = PP0 。 为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。 例 4 设 2 2 2 2 1 ( , ) ( )sin x y f x y x y + = + （ 0 2 2 x + y ≠ ）， 求证 lim ( , ) 0 0 0 = → → f x y y x 。 证 因为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 ( ) sin 1 ( )sin x y x y x y x y x y ≤ + + − = + + + ，可见， 对任给ε > 0，取δ = ε ，则当 < − + − < δ 2 2 0 (x 0) ( y 0) 时，总有 − < ε + + 0 1 ( )sin 2 2 2 2 x y x y 成立 所以 lim ( , ) 0 0 = → f x y x x 我们必须注意，所谓二重极限存在，是指 P(x, y) 以任何方式趋于 ( , ) 0 P x y 时，函数都

无限接近于A。因此，如果P(x,y)以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于P。（x，y)时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。但是反过来，如果当P(x,y)以不同方式趋于P(x,y)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。下面用例子来说明这种情形。例5.证明函数xyx2+y*+0,f(x,J)=}x + y2,0,x2+y?=0,证：当点P(x.y）沿x轴趋于点（0.0)时，limf(x.0)=lim0=0：又当点P(x.y）x→(沿y轴趋于点(0,0)时，limf(0,y)=lim0=0。~0y-0虽然点P(x,Jy)以上述两种特殊方式(沿x轴或沿y轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等，但是limf(x,y)并不存在.这是因为当点P(x,y)沿着直线y=kx趋于点(0,0)130时,有kr2kxy= limlim1+k2o+y?x-0 x2 +ky?显然它是随着k的值的不同而改变的xy例6.极限lim是否存在？28x+y2kx3x'ykx解：取y=kx，x*+y?x*+k2x2=x2+k2kx.. lim f(x,y)=lim=0ox+y30Y当P(x,y)沿x轴的方向无限接近点（0，0）时，lim(x,0)=0当P(x,y)沿y轴的方向无限接近点（0，0）时，limf(O,y)=0xtx'y1取y=kx?,2x*+x4xt+y?故，极限不存在；

无限接近于 A。因此，如果 P(x, y) 以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于 ( , ) 0 P x y 时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。但是 反过来，如果当 P(x, y) 以不同方式趋于 ( , ) 0 P x y 时，函数趋于不同的值，那么就可以断定 这函数的极限不存在。下面用例子来说明这种情形。 例 5．证明函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0, , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 证 ：当点 P(x, y) 沿 x 轴趋于点(0,0) 时，lim ( ,0) lim0 0 0 0 = = x→ x→ f x ；又当点 P(x, y) 沿 y 轴趋于点(0,0) 时，lim (0, ) lim0 0 0 0 = = y→ y→ f y 。 虽然点 P(x, y) 以上述两种特殊方式(沿 x 轴或沿 y 轴)趋于原点时函数的极限存在并且 相等,但是lim ( , ) 0 0 f x y y x → → 并不存在.这是因为当点 P(x, y) 沿着直线 y = kx趋于点(0,0) 时,有 2 2 2 2 2 0 2 2 0 0 1 lim lim k k x k y kx x y xy x y kx x + = + = + → = → → ， 显然它是随着 k 的值的不同而改变的. 例 6．极限 2 4 2 0 0 limx y x y → x y → + 是否存在？ 解：取 y = kx ， 2 3 4 2 4 22 2 2 x y kx kx x y x kx x k = = ++ + ( ) 2 2 0 0 lim , lim 0 x x y kx y kx kx f xy → → x y = = ∴ = = + 当 Pxy (, ) 沿 x 轴的方向无限接近点（0，0）时， 0 lim ( ,0) 0 x f x → = 当 Pxy (, ) 沿 y 轴的方向无限接近点（0，0）时， 0 lim (0, ) 0 x f y → = 取 2 y = kx ， 2 4 42 44 1 2 xy x xy xx = = + + 故，极限不存在；

以上关于二元函数的极限概念，可相应的推广到n元函数u=f(P）即u=f(x,x2,"",x)上去。关于多元函数极限的运算，有与一元函数类似的运算法则例 6 求 lim sin(a)x32这里(x,)=sin()在区域D,=(,)<0)和区域D=(x,)>0)解：x内都有定义，P(O,2)同时为D,及D，的边界点。但无论在D,内还是在D,内考，下列运算都是正确的：sin(xy)sin(xy)lim=lim2.limy=1.2=2。xxy139xy0+四、多元函数的连续性明白了函数极限的概念，就不难说明多元函数的连续性，定义3设函数f(x,y)在开区域（闭区域）D内有定义，P(xo,y）是D的内点或边界点且PED。如果lim f(x,y)= f(xo,yo),则称函数f(x,y)在点P(xo,yo）连续。如果函数f(x,y)在开区域（或闭区域)D内的每一点连续，那么就称函数f(x,y)在D内连续，或者称f(x,J)是D内的连续函数。以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到n元函数f（P）上去。若函数f(x,y)在点P(xo,yo)不连续，则称P为函数f(x,y)的间断点。这里顺便指出：如果在开区域（或闭区域）D内某些孤立点，或者沿D内某些曲线，函数f(x,J)没有定义，但在D内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数f(x,Jy)的不连续点，即间断点。前面已经讨论过的函数

以上关于二元函数的极限概念 , 可相应的推广到 n 元函数 u = f (P) 即 ( , , , ) 1 2 n u = f x x " x 上去。 关于多元函数极限的运算,有与一元函数类似的运算法则. 例 6 求 x xy y x sin( ) lim 2 0 → → . 解： 这里 x xy f x y sin( ) ( , ) = 在区域 {( , ) 0} D1 = x y x < 和区域 {( , ) 0} D2 = x y x > 内都有定义， (0,2) P0 同时为 D1及 D2 的边界点。但无论在 D1内还是在 D2 内考虑，下列运 算都是正确的： lim 1 2 2 sin( ) lim sin( ) lim 0 2 2 0 = ⋅ = ⋅ = → → → → y xy xy x xy xy y y x 。 四、多元函数的连续性 明白了函数极限的概念，就不难说明多元函数的连续性， 定义 3 设函数 f (x, y) 在开区域（闭区域）D 内有定义， ( , ) 0 0 0 P x y 是 D 的内点或边 界点且 P0 ∈ D 。如果 lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y y y x x = → → , 则称函数 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 连续。 如果函数 f (x, y) 在开区域（或闭区域）D 内的每一点连续，那么就称函数 f (x, y) 在 D 内连续，或者称 f (x, y) 是 D 内的连续函数。 以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到 n 元函数 f (P) 上去。 若函数 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 不连续，则称 P0 为函数 f (x, y) 的间断点。这里顺便指 出：如果在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内某些曲线，函数 f (x, y) 没 有定义，但在 D 内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数 f (x, y) 的不连续点，即间断点。 前面已经讨论过的函数

xyx2+ y?+0,f(x,jx2 +y21 o,x2 + y2 = 0,当x→x，y→y。时的极限不存在，所以点(0,0)是该函数的一个间断点。二元函数的间断点可以形成一条曲线，例如函数1z = sin -x? + y? -1在圆周x2+y?=1上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。性质1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。这就是说，在D上至少有一点P及一点P2，使得f(P）为最大值而f(P2)为最小值，即对于一切PED,有f(P)≤ f(P)≤(P).性质2（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。特殊地，如果μ是函数在D上的最小值m和最大值M之间的一个数，则在D上至少有一点Q，使得f(Q)=μ。一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用：根据极限运算法则，可以证明多元连续函数的和、差、积均为连续函数；在分母不为零处，连续函数的商是连续函数，多元连续函数的复合函数也是连续函数。与一元的初等函数相类似，多元初等函数是可用一个式子所表示的多元函数，而这个式子是由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的（这里指出，基本初等函数是一元函数，在构成多元初等函数时，它必须与多元函数复合）。例如X+x?-y?1+x?是两个多项式之商，它是多元初等函数。又例如sin(x+y)是由基本初等函数sinμ与多项式u=x+y复合而成的，它也是多元初等函数，根据上面指出的连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合的连续性再考虑到多元多项式及基本初等函数的连续性，我们进一步可以得出如下结论：

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ + 0, 0, , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 当 0 x → x ， 0 y → y 时的极限不存在，所以点(0,0) 是该函数的一个间断点。二元函数的间 断点可以形成一条曲线，例如函数 1 1 sin 2 2 + − = x y z 在圆周 1 2 2 x + y = 上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。 与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。 性质 1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有 最大值和最小值。这就是说，在 D 上至少有一点 P1 及一点 P2 ，使得 ( ) P1 f 为最大值而 ( ) P2 f 为最小值，即对于一切 P∈D, 有 ( ) ( ) ( ) 2 P1 f P ≤ f P ≤ f . 性质 2（介值定理） 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取得两个不同的 函数值，则它在 D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。特殊地，如果 μ 是函数在 D 上的最小值 m 和最大值 M 之间的一个数，则在 D 上至少有一点Q ，使得 f (Q) = μ 。 一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用；根据极限运算法则， 可以 证明多元连续函数的和、差、积均为连续函数；在分母不为零处，连续函数的商是连续函数。 多元连续函数的复合函数也是连续函数。 与一元的初等函数相类似，多元初等函数是可用一个式子所表示的多元函数，而这个 式子是由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的（这里指 出，基本初等函数是一元函数，在构成多元初等函数时，它必须与多元函数复合）。例如， 2 2 2 1 x x x y + + − 是两个多项式之商，它是多元初等函数。又例如sin(x + y)是由基本初等函数sin μ 与多项 式 μ = x + y 复合而成的，它也是多元初等函数。 根据上面指出的连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合的连续性， 再考虑到多元多项式及基本初等函数的连续性，我们进一步可以得出如下结论：

-切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。由多元初等函数的连续性，如果要求它在点P。处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即lim f(P)= f(Po)P→Px+y例6求lim=3 xy解函数(x,J)=+是初等函数，它的定义域为D=(x,V)x0,y0)。xy因D不是连通的，故D不是区域。但D,=((x,J)x>0,y>O)是区域，且D,CD，所以D是函数f(x,y)的一个定义区域。因P(1,2)ED，故lm= (.2)=号2a如果这里不引进区域D，也可用下述方法判定函数f(x,y)在点P(1,2）处是连续的：因P。是f(x,y)的定义域D的内点，故存在P的某一邻域U(P）CD，而任何邻域都是区域，所以U(P)是f(x,J)的一个定义区域，又由于f(x,y)是初等函数，因此f(x,y)在点P处连续。一般地，求limf(P),如果f(P)是初等函数，且P是f(P)的定义域的内点，则f(P)P-→P在点P。处连续，于是limf(P)=f(P)。P-PoVxy+1-1例7求limxy130/xy+1-111xy +11=lim=lim解limxy338/xy+1+133838 xy(/xy+1+1)sin(x"y)例8：求lim538 x+y2

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域是指包含在定义域内的区 域或闭区域。 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 P0 处的极限，而该点又在此函数的定义区 域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即 lim ( ) ( ) 0 0 f P f P P P = → . 例 6 求 xy x y y x + → → 2 1 lim . 解 函数 xy x y f x y + ( , ) = 是初等函数，它的定义域为 D = {(x, y) x ≠ 0, y ≠ 0}。 因 D 不是连通的，故 D 不是区域。但 {( , ) 0, 0} D1 = x y x > y > 是区域，且 D1 ⊂ D ，所 以 D 是函数 f (x, y) 的一个定义区域。因 0 1 P (1,2) ∈ D , 故 2 3 lim (1,2) 2 1 = = + → → f xy x y y x . 如果这里不引进区域 D1，也可用下述方法判定函数 f (x, y) 在点 (1,2) P0 处是连续的： 因 P0 是 f (x, y) 的定义域 D 的内点，故存在 P0 的某一邻域U(P0 ) ⊂ D ，而任何邻域都是区 域，所以 ( ) U P0 是 f (x, y) 的一个定义区域，又由于 f (x, y) 是初等函数，因此 f (x, y) 在点 P0 处连续。 一般地，求 lim ( ) 0 f P P→P ，如果 f (P) 是初等函数，且 P0 是 f (P) 的定义域的内点，则 f (P) 在点 P0 处连续，于是 lim ( ) ( ) 0 0 f P f P P P = → 。 例 7 求 xy xy y x 1 1 lim 0 0 + − → → 。 解 xy xy y x 1 1 lim 0 0 + − → → = ( 1 1) 1 1 lim 0 0 + + + − → → xy xy xy y x = 1 1 1 lim 0 0 → + + → xy y x = 2 1 。 例 8：求 2 2 2 0 0 sin( ) limx y x y → x y → +