例4.5.1求y=e的n阶导函数。 解由 可知 e)=(e2)"=(e e 类似可以得到 )n)=(lna)
例 4.5.1 求 y x = e 的n阶导函数。 解 由 (e ) e x x ′ = ， 可知 x x x xnx e)(e)(e)(e)(e )( ′ = ′′ = ′′′ " === 。 类似可以得到 ( ) (ln ) ( ) a aa xn nx =
例4.5.2求y=sinx和y=cosx的n阶导函数 解因为 (sin x )=cos x=sin x+ 利用复合函数的求导法则 (sin x)=sin(x+ cosIx+ 2/sin+ r 以此类推,由数学归纳法容易证明 (sin x)m)=sin x+ 同理,y=cosx的n阶导数为 coS x) n) =coSx+
例 4.5.2 求 y x = sin 和 y = cos x 的 n阶导函数。 解 因为 π (sin ) cos sin 2 x xx ⎛ ⎞ ′ == + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠， 利用复合函数的求导法则 π π 2 π (sin ) sin( ) cos sin 2 22 xx x x ′ ⎛ ⎞ ⎛⎞⎛ ⎞ ′′ = + = += + ⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠⎝ ⎠， 以此类推，由数学归纳法容易证明 ( ) π (sin ) sin 2 n n x x ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠。 同理， y x = cos 的 n阶导数为 ( ) π (cos ) cos 2 n n x x ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
例4.5.3求幂函数y=xm(m是正整数)的n阶导函数。 解由幂函数的导函数形式,有 nx (x")"=m(m-1)(m-2)xn3 因此它的n阶导函数的一般形式为 (x")(m)=/m1(m m-n …(m-n+1)x ,n≤m2 n>m 特别地 x
例 4.5.3 求幂函数 y x m = （m是正整数）的n阶导函数。 解 由幂函数的导函数形式，有 ( ) x mx m m ′ = −1， () ( ) x mm x m m ′′ = − − 1 2 ， ( ) ( )( ) x mm m x m m ′′′ =−− − 1 2 3， …… 因此它的n阶导函数的一般形式为 ⎩⎨⎧ > +−− ≤ = − ,0 ,,,)1()1( )( )( mn mnxnmmm x nm nm " 特别地 () ! ( ) x m m m =
例4.5.4求y=hnx的的n阶导函数。 解因为 nx 于是 (lnx)"=(x) nx )=2x (n x) (2 x x 以此类推就可以导出它的一般规律 (n) 1)·(n-2)……3·2 (n-1)! (-1) n-1 附带地还得到 =(nx (n+l) n x
例 4.5.4 求 y x = ln 的的n阶导函数。 解 因为 (ln ) x x ′ = = x − 1 1 ， 于是 (ln ) ( ) xx x ′′ = ′ = − − − 1 2， (ln ) ( ) xxx ′′′ = − ′ = − − 2 3 2 ， (ln ) ( ) ( ) xx x 43 4 = 2 32 ′ =− ⋅ − − ， …… 以此类推就可以导出它的一般规律 (ln ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ( ) x nn x n x n n n n n =− − ⋅ − ⋅ ⋅⋅ = − − − − − 1 1 2 32 1 1 1 1 " 。 附带地还得到 1 )1( )( ! )1()(ln 1 + + ⎟ = −= ⎠⎞ ⎜⎝⎛ n n n n xn x x