《泛函分析》课程教学资源（授课教案讲义，共十七讲）

二闭球套定理 定理设X是完备的距离空间，了=5x,)口=1,2，是X中一列，闭 球套： SS,S,>S. 且半径，→0，n→0，则存在唯一的点xe门S 证考虑球心所组成的点列g}由→0，n→功知，e>0,3N，s1, n>N时，n<E,则当m之n>N时，SnS:故 x.CS.(x,n） d(xx)<n<E. (1) 即}是X中的一个Cauchy列.由于X完备，故x,}在X中收敛.不妨设 xn→x。,n→0，在(1)中令m→0，则有 d(xx)sr<E,(n>N). 所以∈S,因此x∈∩s,.若y∈∩5，则m, d(xy)sr dx,y)sdxn,x)+dxn,y)s2rn≤2e→0，n→o dx,y)=0. 故x=y. 三纲，Baire纲定理 定义设E是距离空间X中的点集，如果E不在X的任何开集中稠密，则 称E是疏集.如果一集合可表为可数个疏集的并集，称为第一纲集，否则就称 为第二纲集 例1R”中的单元素是疏集

19 二 闭球套定理 定理 设 X 是完备的距离空间，   n n n S  S x ,r n  1, 2,  是 X 中一列，闭 球套： s1  S2  S3  Sn  且半径 rn  0 , n   ，则存在唯一的点     n 1 Sn x . 证 考虑球心所组成的点列 xn . 由 rn  0 , n   知,   0, N ， s.t ， n  N 时，   n r ，则当 m  n  N 时， Sn  Sm . 故   m n n n x  S x ,r ,      n m n d x , x r . （1） 即 xn  是 X 中的一个 Cauchy 列. 由于 X 完备，故 xn  在 X 中收敛. 不妨设 0 x x n  , n   , 在（1）中令 m   ，则有      n n d x x r 0 , , n  N. 所以 0 x Sn ，因此     n 1 Sn x . 若 y   n1 n S ，则 n，   n n d x , y  r . dx y dx x dx y n n ,  ,  ,  2  2 n r 0， n   . 即 dx, y  0 . 故 x  y . 三 纲， Baire 纲定理 定义 设 E 是距离空间 X 中的点集，如果 E 不在 X 的任何开集中稠密，则 称 E 是疏集. 如果一集合可表为可数个疏集的并集， 称为第一纲集，否则就称 为第二纲集. 例 1 n R 中的单元素是疏集

例2欧氏空间R”中的任一可列集是第一纲集 Bair定理完备距离空间是第二纲集 正设(X,d)是完备的距离空间，假设X是第一纲集，则x=UE,其中E, =12,)是疏集.由于E是疏集，任取X中的开集S,则E在开集S中不稠密， 从而在S中存在一个半径小于1闭球S,使得可∩E,=⑦.在S,中任取一开球 B,由于E,为疏集，故E,在B,开球中也不稠密.因此在B,中存在闭球了且半 径小于号使得∩6，=0.同样方法，存在闭球可且半径小于片使得 S∩E。=⑦.如此这样下去，得到一列闭球套 S.可n. 其中瓦的半径小于分且 S∩E,=0，=12.叫 (1) 由于空间X是完备的，有闭球套定理知：唯一点x。∈X,且x。∈∩.而由(1) 知xeUE,=X产生矛盾. 距离空间的完备化 定理对于每一个距离空间(X,d),必存在一个完备的距离空间（仅，），使得 (K,d)与(？，d)的一个稠密子集等距，并且在等距意义下，这样的空间？，d)是惟 一的，称，d是(X,d)的完备化空间. 证明主要步骤 (i)主表示空间(K,d)的所有Cauc列的全体，其中如果两个Cauchy列 {n}y}满足d(x,y)→0，n→∞称中同一元

20 例 2 欧氏空间 n R 中的任一可列集是第一纲集. Baire 定理 完备距离空间是第二纲集. 证 设 X , d  是完备的距离空间，假设 X 是第一纲集，则     1 X i i E ，其中 Ei i 1,2,  是疏集. 由于 E1 是疏集，任取 X 中的开集 S ，则 E1 在开集 S 中不稠密， 从而在 S 中存在一个半径小于 1 闭球 S1 ，使得 S1E1  . 在 S1 中任取一开球 B1 ，由于 E2 为疏集，故 E2 在 B1 开球中也不稠密. 因此在 B1 中存在闭球 S2 且半 径小于 2 1 使 得 S2E2   . 同样方 法 ，存 在闭 球 Sn 且半 径 小于 n 1 使 得 SnEn  . 如此这样下去，得到一列闭球套 S1  S2  Sn , 其中 Sn 的半径小于 n 1 ，且 SiEi   ，n  1, 2,  （1） 由于空间 X 是完备的，有闭球套定理知：  唯一点 x0  X ，且     1 0 i Si x . 而由（1） 知 x E X i  i     1 0 产生矛盾. 距离空间的完备化 定理 对于每一个距离空间 X , d  ，必存在一个完备的距离空间 X d  ~ , ~ ，使得 X , d  与 X d  ~ , ~ 的一个稠密子集等距，并且在等距意义下，这样的空间 X d  ~ , ~ 是惟 一的，称 X d  ~ , ~ 是 X , d  的完备化空间. 证明主要步骤 （i） x ~ 表示空间 X , d  的所有 Cauchy 列的全体，其中如果两个 Cauchy 列 xn ,yn  满足 dxn , yn  0 , n   称 x ~ 中同一元

=kv=.)' aG,)=md(,升 (i)空间(X,d)与（仅，d的一个稠密子集空间等距，此子空间为x中的元作成的 常驻数列的全体，等距映射o为(x)={}x∈

21 x  xn  y  yn  ~ , ~ ， d x y dx y n ~ , ~ ~ , ~ lim ~   . （ii）空间 X , d  与 X d  ~ , ~ 的一个稠密子集空间等距，此子空间为 x ~ 中的元作成的 常驻数列的全体，等距映射  为 x   x, x  X

第四讲压缩映射原理 教学目的 掌握压缩映射原理及应用 教学要点 1压缩映射原理： 2几个例子 复习旧课 Cauchy列及完备距离空间的定义 进行新课 一不动点定理（压缩映射原理） 定义1设X为一集合，T是X到自身的映射，如果存在x*∈X使得x'=x 那么称x为映射T的一个不动点 定义2设(X,d)是一距离空间，T:X→X.如果存在a,0≤a<1使得对 一切x,y∈X,有 dix,Ty)s ad(x.y), 则称T为X上的一个压缩映射 定理1（压缩映射原理）设(X,d)是完备的距离空间，T:X→X,并且对 x,yeX,不等式dTx,y)sux,y)成立，其中0<0<l,则存在惟一的xeX, 使得Tx=x 分析(1)证明连续常用方法：(1)根据连续性的定义证明：(2)T:X→Y, x。∈X,任取仁}CX且x,→o,若五，→亚，则T在x点连续 不难看出T是一个连续映射.若可以构造点列x1=Ix,n=1,2,且x。→x n→0，则由T的连续性知 。→，n→o 证明任取x。eX,构造点列{n}:名=Tx0,x2=Tx1,x3=Tx2,.,xn+1=

22 第四讲 压缩映射原理 教学目的 掌握压缩映射原理及应用 教学要点 1 压缩映射原理； 2 几个例子. 复习旧课 Cauchy 列及完备距离空间的定义 进行新课 一 不动点定理（压缩映射原理） 定义 1 设 X 为一集合，T 是 X 到自身的映射，如果存在 X * x  使得   Tx  x ， 那么称  x 为映射 T 的一个不动点. 定义 2 设 X , d  是一距离空间，T : X  X . 如果存在 , 0    1 使得对 一切 x, y  X ，有 d Tx,Ty   d x,y ， 则称 T 为 X 上的一个压缩映射. 定理 1（压缩映射原理） 设 X , d  是完备的距离空间， T : X  X ，并且对 x, y  X ，不等式 dTx,Ty dx, y 成立，其中 0  1 ，则存在惟一的 x  X ， 使得 T x  x . 分析 （1）证明连续常用方法：（1）根据连续性的定义证明；（2） T : X Y , x0  X ，任取 xn  X 且 0 x x n  ，若 0 Tx Tx n  ，则 T 在 0 x 点连续 不难看出 T 是一个连续映射. 若可以构造点列 n Txn x 1  ，n  1,2, ，且 0 x x n  , n  , 则由 T 的连续性知 0 Tx Tx n  , n  . 证明 任取 x0  X ，构造点列 xn  ：𝑥1 = 𝑇𝑥0 , 𝑥2 = 𝑇𝑥1, 𝑥3 = 𝑇𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛+1 =

Tx,下证：点列{}在X中收敛，即证{女}为X中的Cauchy列，即证 dn,xp)→0，n→o,p为自然数 由于 d(xzx)=d(TxTx)sad(x), d(x.x)=d(Tx.Tx)sad(x.x)said(x.x) d(x)sa"d(x). 从而对一切自然数p,有 d0oI)≤dl4x)+dl4)+.+dl+p-nx+n】 ≤ad,xo)+adx,x）+.+ap-d,x) =a+.+amHk,xo) .at-a2ak.x） 1-a sg。)0,n→n 故 d(xap:x)→0，n→o 即，}为Cauchy列.由X的完备性知，3r,使得 xm→x',n→o 由T的连续性在x=Txn的两边令n→0，则 x=Tx' 现证唯一性假设还有y∈x,使得Ty=y,则 d6,=dTxT习)sauG,) 由于0<1，必有d(,)=0,即x=y. 定理2设（区，d)是完备距离空间，T是X到X中的映射，如果存在自然数m。, 23

23 𝑇𝑥𝑛. 下证：点列 xn  在 X 中收敛，即证 xn  为 X 中的 Cauchy 列，即证 dxn , xn p 0, n   , p 为自然数. 由于       2 1 1 0 1 0 d x , x  d Tx ,Tx d x , x ，         1 0 2 3 2 2 1 2 1 d x , x  d Tx ,Tx d x , x  d x , x ,     1 1 0 d x , x d x , x n n n  , 从而对一切自然数 p ，有         n p n n n n n n p n p d x x d x x d x x d x x            , , , , 1 1 2  1       1 0 1 1 0 1 1 0 d x , x d x , x d x , x n n n p        1 0 1 d x , x n n p        1 0 , 1 1 d x x n p         1 0 , 1 d x x n      0 , n  . 故 dxn p , xn 0, n  . 即 xn  为 Cauchy 列. 由 X 的完备性知，  x ，使得   x x n , n  . 由 T 的连续性在 n Txn x 1  的两边令 n  ， 则   x  Tx 现证唯一性 假设还有 yx, 使得 T y  y ，则 dx, y dT x,T ydx, y. 由于   1 ，必有 dx, y 0 ，即 x  y . 定理 2 设 X,d  是完备距离空间， T 是 X 到 X 中的映射，如果存在自然数 n0