《泛函分析》课程教学资源（授课教案讲义，共十七讲）

dp0g0<号 所以 d(x()(sd(x(p()+d(p)(<5 由于有理数组成的多项式在Ca,b中稠密的，所以Ca,b是可分的 例31”不可分 1”是有界的实数列全体，x,y∈P,其中 x=(店，6，.，5，y=,2,n 定义d(xy)）=spx5k-kl ()为了证明d是距离空间，只需证三角不等式成立.2=5,52，S.小 由于 5-n≤5-s+5s-n sup形5-na≤sup形5-S+sp5k-n 即 d(x,y)sd(x,=)+d(=.y). (2)假设严可分，设E是1产的可列的稠密的子集，考虑1产中点(G,26,小 其中ε，为0或1，设这些点组成的集合为A,则A是不可列的.以E中的每一点 为球心作半径为，的开球，则1中每一点必落在这些球之中，因此A中的点也 落入这开球中.由于开球是可列的，而A中的点是不可列的，所以A中至少有两 个不同的点设为x,y落入同一个开球.设这个开球球心为：，则有 t功-1sd小a功写号 矛盾，所以1不可分

14      2 ,  d p t q t  . 所以 dxt,qt dxt, pt dpt,qt  . 由于 有理数组成的多项式在 Ca,b 中稠密的，所以 Ca,b 是可分的. 例 3  l 不可分.  l 是有界的实数列全体，  x,y  l ，其中 x  1 , 2 ,  , n， ,  , ,  , ， y  1 2 n . 定义 d(x, y) = 𝑠𝑢𝑝𝑘|𝜉𝑘 − 𝜂𝑘| （1）为了证明 d 是距离空间，只需证三角不等式成立.  , ,  , ， z 1 2 n      ， 由于 k k k k k k           , k k k k k k k k k sup    sup    sup   . 即 dx, y  dx,z dz, y. （2）假设  l 可分，设 E 是  l 的可列的稠密的子集，考虑  l 中点    n  , , , 1 2 ， 其中 i  为 0 或 1，设这些点组成的集合为 A ，则 A 是不可列的. 以 E 中的每一点 为球心作半径为 3 1 的开球，则  l 中每一点必落在这些球之中，因此 A 中的点也 落入这开球中. 由于开球是可列的，而 A 中的点是不可列的，所以 A 中至少有两 个不同的点设为 x, y 落入同一个开球. 设这个开球球心为 z ，则有       3 2 3 1 3 1 d x, y 1 d z, x  d z, y    . 矛盾，所以  l 不可分

第三讲完备距离空间 教学目的 学握Cauchy列、完备空间、疏集的概念和几个常见空间的完备性；掌握闭 球套定理和Bair纲定理：了解距离空间完备化的方法. 教学要点 1 Cauchy列和完备性的定义 2疏集合第一纲集的定义； 3Bair纲定理。 复习旧课 大家回忆一下数学分析中中数列收敛的Cauchy收敛准则 Cauchy收敛准则：数列k)收敛台Ve>O,W,当n,m>N时，有 -x<6: 点列{在}c(K,d)收敛÷s>0,N,当n,m>N有 d(xx)<E 进行新课 一Cauchy列和完备性 定义1设，c(X,d),如果6>0，N,当mm>N时，d心x)<s, 称{k,}是一个Cauc列（基本列）：如果X中任意的Cauc列都收敛，则称X是 完备的（收敛点也需在X中） 例有理数集是香充备？考虑+月易见+月=。 由于e不在有理数集内，因此有理数集不完备 两个重要结论 1)距离空间中任一收敛点列是Cauchy列； 2)完备距离空间的任一闭子空间也是完备的 证明1)设化，d小}cX,∈X且x,→xn→0. 15

15 第三讲 完备距离空间 教学目的 掌握 Cauchy 列、完备空间 、疏集的概念和几个常见空间的完备性；掌握闭 球套定理和 Bair 纲定理；了解距离空间完备化的方法. 教学要点 1 Cauchy 列和完备性的定义； 2 疏集合第一纲集的定义; 3 Bair 纲定理. 复习旧课 大家回忆一下数学分析中中数列收敛的 Cauchy 收敛准则 Cauchy 收敛准则：数列 xn  收敛    0, N , 当 n,m  N 时，有    n m x x ； 点列 x  X d n  , 收敛    0, N , 当 n,m  N 有     n m d x , x . 进行新课 一 Cauchy 列和完备性 定义 1 设 x  X d n  , ，如果   0, N ，当 n,m  N 时，     n m d x , x , 称 xn  是一个 Cauchy 列（基本列）；如果 X 中任意的 Cauchy 列都收敛，则称 X 是 完备的（收敛点也需在 X 中）. 例 有理数集是否完备？考虑          n 1 1 n 易见   e n n n          1 lim 1 由于 e 不在有理数集内，因此有理数集不完备. 两个重要结论 1）距离空间中任一收敛点列是 Cauchy 列； 2）完备距离空间的任一闭子空间也是完备的. 证明 1） 设 X ,d , x n  X ， x0  X 且 0 x x n  , n  

s>03,当n>N时有dx)k号取m>n时，d(x<专当nm>N 时，有 d(xx)sd(x,x)+d(x)<E. 故{kn}是Cauchy列. 2)(K,d)是完备空间，AcX,A=A,下证：A是完备的 台n}cA为A的Cauchy列，则{n}为X的Cauchy列，而X是完备的，从而{仁) 在X中收敛设}→，n→0(x,为极限点即为接触点) 因为A=A,所以x。∈A.故A是完备 例1R"是完备的. 证设n}cR,其中x。=,x2,.,x,(m=1,2,是R”的任意一 个Cauc列，则s>0,N,当4，m>N时有 dx)<s, 即 交 k,0-x<s,i=12.,n 固定i,由实数列的Cauc准则，知x收敛.考虑，}的第i个坐标构成的数 列x,x包，.，x,故由数列的Cacy收敛准则知点列仁n}的第i个坐标构成 的数列x,x间.，xA.巨=1,2，.，)收敛，不妨设收敛点为x (t=1,2,.,n).记 x0xo0,k→∞

16   0, N ，当 n  N 时有   2 , 0  d xn x  . 取 m  n 时，   2 ,m 0  d x x  . 当 n,m  N 时，有        0 0 d x , x d x , x d x , x n m n m . 故 xn  是 Cauchy 列. 2） X , d  是完备空间， A  X , A  A ，下证: A 是完备的. xn  A 为 A 的 Cauchy 列，则 xn  为 X 的 Cauchy 列，而 X 是完备的，从而 xn  在 X 中收敛. 设 x n x 0 , n   （ 0 x 为极限点即为接触点） 因为 A  A ，所以 x0  A.故 A 是完备. 例 1 n R 是完备的. 证 设   n xn  R ，其中        , ,  , , 1, 2,  x  x 1 x 2 x m  m n m m m 是 n R 的任意一 个 Cauchy 列，则   0, N , 当 ,m  N 时有    d xm , x  , 即               n i i m x i x 1 2 ( ) ( ) 2 1 . 有     x x i i n m i   ,  1, 2,,  . 固定 i ，由实数列的 Cauchy 准则，知     m i x 收敛. 考虑 xn  的第 i 个坐标构成的数 列       , ,  , ,  1 2 i n x xi xi ，故由数列的 Cauchy 收敛准则知点列 xn  的第 i 个坐标构成 的数列       , ,  , ,  1 2 n x i x i x i i  1, 2,  ,n 收敛，不妨设收敛点为 0 i x i  1, 2,  ,n. 记   0 1 1 x x k  , k   . 

x0→x则，k→西 所以对上述>0，N,当k>M,时有 x→x叫<E 同理，N,当k>N时有 x因→x叫<e,=2.,n 记x0=(x0,x0,.,x0).所以当m>maxW,N2,N}时， )xice limx=xo 所以R“完备. 例2Ca,完备 证设.}为Ca,b)中的任一Cauchy列，则s>0,3N,当n,m>N时有 dxnx）kE.即 .0-x0创≤6.4) 故t∈a,小，有 x.)-xn<& 说明函数列{仁仍在t∈a,b上一致收敛，不妨设{x)仍一致收敛到x),则 x)连续即x0)eCa,小，在(1)中令m→o,则有 maxk()x()ss. 即n>N时， d(xx)E. 故mx,=。:所以C,完备

17   0 n n k x  x , k  . 所以对上述   0 ，N 1 ，当 k  N 1 时有        0 x1 x1 k . 同理， Ni ，当 Ni k  时有        0 i k i x x ， i  2,  ,n. 记𝑥0 = ( 𝑥1 (0) , 𝑥2 (0) , ⋯ , 𝑥𝑛 (0) ). 所以当 m  maxN1 ,N2 ,  ,Nn  时,       d x x x x  n  n n i i m m i               2 1 2 2 1 2 1 0 0 , . 即 0 lim x x m m   . 所以 n R 完备. 例 2 C a, b 完备. 证 设 xn  为 Ca,b 中的任一 Cauchy 列，则   0, N ，当 n,m  N 时有     n m d x , x . 即          x t x t n m t a,b max . （1） 故 t  a,b, 有 x t x t   n m . 说明函数列 xn t 在 t  a,b 上一致收敛，不妨设 xn t 一致收敛到 x t 0 ，则 x t 0 连续即 x t 0 Ca,b ，在（1）中令 m   ，则有          x t x t n t a b 0 , max . 即 n  N 时，     0 d x , x n . 故 0 lim x x n n   . 所以 Ca,b 完备

例31”完备(1表示有界实数列全体) 证设，}为产中任-Cauchy列，其中x。=,x0,x日，.}且 x≤knb=1,2,.s>0,3N,当n,m>N时有 d(xx)<E. 即 supx,x,m)<s. 故对一切i, k同-x<E,(t=1,2, (1) 固定i,由数列收敛的Cay准则，点列仁，}的第i个坐标构成的数列：收敛 不妨设x→x0(k→o,i=1,2,).在(1)中，令m→0有 |x0-x0k6. (2) 记x=(x,x,.,x0,下证x∈1严.因为当n>N时， |x日x0-x0+x0日x-x|+|x0sk。+E 所以|xo有界，从而x。∈1.此时有 d(x.xo)sup xx e 所以 xa→x0’n→0 故严是完备的 例4b,小，x)d)eCb,小，定义 d(x.y)=()-y()at, 则此空间是不完备的. 证由于巾，在，中稠，而巾刂≠h小，而完备.故cb,上 定义的d(,)=x)-(所得的距离空间不完备

18 例 3  l 完备 (  l 表示有界实数列全体) 证 设 xn  为  l 中任一 Cauchy 列，其中     x , 2 ,  , ,  ( ) 1 n i n n x n  x x ，且   n n i x  k n  1, 2, .   0, N ，当 n, m  N 时有     n m d x , x . 即        m i n i i sup x x . 故对一切 i ，        m i n i x x ，i  1, 2,  （1） 固定 i ，由数列收敛的 Cauchy 准则，点列 xn  的第 i 个坐标构成的数列     k i x 收敛. 不妨设   0 i k i x  x k  ,i  1, 2,.. 在（1）中, 令 m   有 |  |  ( ) (0) i n x i x . （2） 记 ( , , , , ) (0) (0) 2 (0) x 0  x 1 x  x n  ， 下证  x 0  l . 因为当 n  N 时，          n n i n i i n i n | x i | | x i x i x | | x x | | x | k (0) (0) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) . 所以 | | (0) x i 有界，从而  x 0  l . 此时有 d( , )  sup |  |  ( ) (0) 0 i n i i x n x x x . 所以 xn  x 0 ， n  . 故  l 是完备的. 例 4 C 0,1，xt, y t  C 0,1 ，定义 d x y xt ytdt    1 0 1 , ， 则此空间是不完备的. 证 由于 C 0, 1 在 0, 1 1 L 中稠，而 C 0, 1  0, 1 1 L ，而 0, 1 1 L 完备. 故 C 0,1 上 定义的 d x y xt ytdt    1 0 1 , 所得的距离空间不完备